📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.2.5 Propiedades del módulo de un vector

Propiedades de no negatividad, homogeneidad absoluta y desigualdad triangular de Minkowski en el espacio euclídeo.

1. Axiomas de la Norma Euclídea

El módulo cumple las tres propiedades universales de toda norma en un espacio vectorial:

1. No Negatividad y Separación

$$|\vec{u}| \ge 0, \quad \text{y} \quad |\vec{u}| = 0 \iff \vec{u} = \vec{0}$$

2. Homogeneidad Absoluta

$$|k\vec{u}| = |k| \cdot |\vec{u}| \quad \forall k \in \mathbb{R}$$

3. Desigualdad Triangular (Minkowski)

$$|\vec{u} + \vec{v}| \le |\vec{u}| + |\vec{v}|$$

y además $||\vec{u}| - |\vec{v}|| \le |\vec{u} - \vec{v}|$.

📌 Ejemplo Concreto de Desigualdad Triangular:

Comprobemos que $|\vec{u} + \vec{v}| \le |\vec{u}| + |\vec{v}|$ para $\vec{u} = (3, 0, 0)$ y $\vec{v} = (0, 4, 0)$:

|\vec{u}| = 3, \quad |\vec{v}| = 4 \implies |\vec{u}| + |\vec{v}| = 3 + 4 = 7

La suma es $\vec{u} + \vec{v} = (3, 4, 0)$ y su módulo resulta:

|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

Comprobamos que $5 \le 7$, cumpliéndose rigurosamente la desigualdad triangular de Minkowski.

Ejemplo 1: Homogeneidad con Escalar Negativo

Enunciado: Dado $\vec{u}=(1, -2, 2)$, calcula $|-4\vec{u}|$.

Paso 1: Módulo base y propiedad

$$|\vec{u}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \implies |-4\vec{u}| = |-4| \cdot 3 = 12$$

Ejemplo 2: Desigualdad Triangular Estricta

Enunciado: Comprueba la desigualdad triangular para $\vec{u}=(3, 0, 0)$ y $\vec{v}=(0, 4, 0)$.

Paso 1: Evaluación

$$|\vec{u}|=3, \; |\vec{v}|=4 \implies |\vec{u}|+|\vec{v}|=7$$

$$|\vec{u}+\vec{v}| = |(3, 4, 0)| = 5 < 7$$

Ejemplo 3: Caso Límite de Igualdad

Enunciado: Verifica que para $\vec{u}=(1, 2, 2)$ y $\vec{v}=(2, 4, 4)$ se cumple la igualdad estricta.

Paso 1: Módulos proporcionales

$$|\vec{u}|=3, \; |\vec{v}|=6 \implies |\vec{u}+\vec{v}| = |(3, 6, 6)| = 9 = 3 + 6$$