Imagen o recorrido de una función

1. Definición Formal de Recorrido o Imagen

Dada una función real de variable real \( f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), la imagen o recorrido, denotado por \( \text{Im}(f) \) o \( \text{Rec}(f) \), es el subconjunto de \( \mathbb{R} \) formado por todos los valores que toma la variable dependiente \( y \):

\[ \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \text{Dom}(f) \text{ tal que } f(x) = y \} \]

Interpretación Geométrica: Es la proyección ortogonal de la gráfica de la función sobre el eje vertical \( OY \).

Cálculo Analítico: Se despeja la variable \( x \) en función de \( y \) (función inversa \( x = f^{-1}(y) \)) y se analiza el dominio de dicha expresión respecto de \( y \), o bien mediante los extremos absolutos y la continuidad.

📌 Ejemplo Concreto de Cálculo de Recorrido:

Determinemos analíticamente el recorrido de la función \( f(x) = \sqrt{x - 2} + 3 \):

y = \sqrt{x - 2} + 3 \implies y - 3 = \sqrt{x - 2}

Dado que la raíz cuadrada aritmética siempre toma valores no negativos (\(\sqrt{x - 2} \ge 0\)), se exige rigurosamente:

y - 3 \ge 0 \implies y \ge 3 \implies \text{Im}(f) = [3, +\infty)

Geométricamente, la gráfica comienza en el punto más bajo \((2, 3)\) y se extiende indefinidamente hacia arriba.

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Función polinómica cuadrática

Calcular el recorrido de \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \).

Completando cuadrados: \( f(x) = (x-2)^2 + 1 \). Como \( (x-2)^2 \ge 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \), el valor mínimo absoluto es \( 1 \) (en el vértice \( x=2 \)).

\[ \text{Im}(f) = [1, +\infty) \]

Ejemplo 2: Función homográfica racional

Hallar el recorrido de \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \).

Despejamos \( x \): \( y(x-3) = 2x+1 \implies yx - 3y = 2x + 1 \implies x(y-2) = 3y+1 \implies x = \frac{3y+1}{y-2} \).

Para que exista \( x \), el denominador debe ser no nulo: \( y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2 \).

\[ \text{Im}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\} \]

Ejemplo 3: Función exponencial

Para \( f(x) = e^x - 3 \), como \( e^x > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \), tenemos \( \text{Im}(f) = (-3, +\infty) \).