Función inversa - Matemáticas II

1. Definición y Propiedades de la Función Inversa

Dada una función inyectiva \( f: A \to B \), su función inversa \( f^{-1}: B \to A \) es aquella que deshace el efecto de \( f \):

\[ (f^{-1} \circ f)(x) = x, \; \forall x \in A \qquad \text{y} \qquad (f \circ f^{-1})(y) = y, \; \forall y \in B \]

Relación de dominios y recorridos: \[ \text{Dom}(f^{-1}) = \text{Im}(f) \qquad \text{y} \qquad \text{Im}(f^{-1}) = \text{Dom}(f) \]

Simetría geométrica: Las gráficas de \( y = f(x) \) y \( y = f^{-1}(x) \) son exactamente simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, la recta \( y = x \).

Algoritmo de cálculo: 1) Se escribe \( y = f(x) \); 2) Se despeja \( x \); 3) Se intercambian las variables \( x \) e \( y \).

📌 Ejemplo Concreto de Cálculo de la Función Inversa:

Hallemos paso a paso la función inversa de \( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3} \):

y = \frac{2x - 1}{x + 3} \implies y(x + 3) = 2x - 1 \implies yx + 3y = 2x - 1

Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y despejamos:

yx - 2x = -3y - 1 \implies x(y - 2) = -(3y + 1) \implies x = \frac{3y + 1}{2 - y}

Intercambiando variables, obtenemos la función inversa:

f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{2 - x}

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Función lineal

Halla la inversa de \( f(x) = 3x - 5 \).

\( y = 3x - 5 \implies y + 5 = 3x \implies x = \frac{y+5}{3} \). Intercambiando: \( f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3} \).

Ejemplo 2: Función homográfica

Inversa de \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \):

\( y(x-2) = x+1 \implies yx - 2y = x + 1 \implies x(y-1) = 2y + 1 \implies x = \frac{2y+1}{y-1} \).

Por tanto: \( f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1} \).

Ejemplo 3: Función exponencial y logarítmica

Para \( f(x) = e^{2x} \), \( y = e^{2x} \implies \ln y = 2x \implies x = \frac{1}{2}\ln y \implies f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\ln x \).