Definición e idea intuitiva de límite

1. Idea Intuitiva y Definición Épsilon-Delta

Decir que el límite de una función \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( c \) es \( L \) (\( \lim_{x \to c} f(x) = L \)) significa que podemos hacer que los valores de \( f(x) \) estén tan próximos a \( L \) como deseemos, tomando valores de \( x \) suficientemente cercanos a \( c \), pero distintos de \( c \).

Definición Formal (\( \varepsilon \)-\( \delta \)): \( \forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \) tal que si \( 0 < |x - c| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon \).

El valor de la función en el punto, \( f(c) \), es completamente irrelevante para la existencia del límite. La función puede no estar definida en \( c \) o tener un valor diferente a \( L \).

📌 Ejemplo Concreto: Demostración Formal mediante Definición Épsilon-Delta

Enunciado: Demostrar rigurosamente mediante la definición formal \( \varepsilon \)-\( \delta \) que el límite de la función lineal \( f(x) = 2x + 1 \) cuando \( x \to 3 \) es igual a \( 7 \):

\lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la implicación formal de la definición épsilon-delta identificando los parámetros del límite. A continuación acotaremos la distancia entre la función y el límite para despejar la distancia a la variable independiente. Para terminar determinaremos el valor del radio delta en función de épsilon y concluiremos la demostración.

Paso 1: Planteamiento de la condición épsilon-delta

Fijado un valor arbitrario \( \varepsilon > 0 \), debemos probar la existencia de un valor \( \delta > 0 \) tal que:

0 < |x - 3| < \delta \implies |(2x + 1) - 7| < \varepsilon

Paso 2: Transformación algebraica y acotación del error

Operamos y simplificamos la expresión del valor absoluto de la diferencia:

$$|(2x + 1) - 7| = |2x - 6| = |2(x - 3)| = 2|x - 3|$$

Exigimos que esta cantidad sea estrictamente menor que \( \varepsilon \):

2|x - 3| < \varepsilon \implies |x - 3| < \frac{\varepsilon}{2}

Paso 3: Elección del radio delta y conclusión

Basta seleccionar \( \delta = \dfrac{\varepsilon}{2} > 0 \). Para cualquier \( x \) que cumpla \( 0 < |x - 3| < \delta \), se verifica automáticamente:

|(2x + 1) - 7| = 2|x - 3| < 2\delta = 2\left(\frac{\varepsilon}{2}\right) = \varepsilon

Conclusión: Queda formalmente demostrado bajo el estándar matemático de Weierstrass que \( \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Sustitución directa y justificación de continuidad

Enunciado: Calcular razonadamente el límite de la siguiente función polinómica en el punto \( x = 2 \):

\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el tipo de función y justificar la validez de la sustitución directa por el teorema de continuidad de polinomios. A continuación sustituiremos el valor de la variable independiente desarrollando cada una de las operaciones aritméticas sin omitir ningún paso intermedio. Para terminar formularemos la conclusión con el valor numérico del límite.

Paso 1: Fundamentación teórica y propiedad de continuidad

La función dada \( P(x) = 3x^2 - 5x + 4 \) es una función polinómica de segundo grado. Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales (\( \mathbb{R} \)). Por la definición de continuidad, el límite cuando \( x \to c \) coincide exactamente con el valor numérico de la función en dicho punto: \( \lim_{x \to c} P(x) = P(c) \).

Paso 2: Sustitución numérica y desarrollo aritmético

Sustituimos de forma directa \( x = 2 \) en cada uno de los términos de la expresión algebraica:

\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4) = 3(2)^2 - 5(2) + 4 = 3(4) - 10 + 4 = 12 - 10 + 4 = 2 + 4 = 6

Paso 3: Conclusión

Conclusión: El límite existe, no presenta indeterminación y su valor exacto es \( 6 \).

Ejemplo 2: Discontinuidad evitable y cálculo del límite en punto no definido

Enunciado: Estudiar el límite cuando \( x \to 1 \) de la función racional:

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar el valor de la función en el punto para detectar si existe indeterminación. A continuación factorizaremos el numerador mediante una identidad notable para simplificar el factor común que anula el cociente. Para terminar calcularemos el límite sobre la función equivalente simplificada y dictaminaremos el resultado.

Paso 1: Detección de la indeterminación analítica

Al sustituir directamente \( x = 1 \), obtenemos \( \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \). La función no está definida en \( x = 1 \) (\( 1 \notin \text{Dom}(f) \)). Sin embargo, el límite evalúa el comportamiento en las proximidades de 1 con \( x \neq 1 \).

Paso 2: Factorización y simplificación algebraica

Aplicamos la identidad notable de diferencia de cuadrados en el numerador: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Para cualquier \( x \neq 1 \), podemos cancelar legítimamente el factor común:

\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1

Paso 3: Evaluación del límite simplificado y conclusión

Calculamos el límite de la expresión simplificada por evaluación continua:

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

Conclusión: Aunque la función posee un punto perforado en \( (1, 2) \), el límite existe y es exactamente igual a \( 2 \).

Ejemplo 3: Análisis numérico por aproximación bilateral

Enunciado: Verificar intuitivamente mediante tablas de valores numéricos que el límite de \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) cuando \( x \to 0 \) es igual a \( 1 \).

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar la función en valores cercanos a cero por la izquierda. A continuación calcularemos los valores correspondientes por la derecha utilizando radianes. Para terminar compararemos la convergencia de ambas ramas hacia el valor unitario y concluiremos.

Paso 1: Tabla de aproximación por la izquierda (\( x < 0 \))

Evaluamos con la calculadora en radianes para valores negativos decrecientemente cercanos a 0:

\( x = -0,1 \implies \frac{\sin(-0,1)}{-0,1} \approx 0,998334 \)
\( x = -0,01 \implies \frac{\sin(-0,01)}{-0,01} \approx 0,999983 \)
\( x = -0,001 \implies \frac{\sin(-0,001)}{-0,001} \approx 0,999999 \)

Paso 2: Tabla de aproximación por la derecha (\( x > 0 \))

Evaluamos para valores positivos crecientemente cercanos a 0:

\( x = 0,1 \implies \frac{\sin(0,1)}{0,1} \approx 0,998334 \)
\( x = 0,01 \implies \frac{\sin(0,01)}{0,01} \approx 0,999983 \)
\( x = 0,001 \implies \frac{\sin(0,001)}{0,001} \approx 0,999999 \)

Paso 3: Deducción de convergencia y conclusión

Conclusión: A medida que \( x \) se aproxima a \( 0 \) tanto por la izquierda como por la derecha, los valores de \( f(x) \) convergen inequívocamente hacia \( 1 \), verificando intuitivamente el límite trigonométrico fundamental.