Límites laterales y existencia del límite de una función en un punto

1. Teorema de Existencia del Límite Global

Para estudiar el comportamiento de \( f(x) \) en las proximidades de \( c \), se definen los límites laterales por la izquierda (\( x < c \)) y por la derecha (\( x > c \)):

\[ L^- = \lim_{x \to c^-} f(x), \qquad L^+ = \lim_{x \to c^+} f(x) \]

Condición Necesaria y Suficiente: El límite global existe si y solo si ambos límites laterales existen, son finitos y coinciden: \[ \lim_{x \to c} f(x) = L \iff \lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \]

Si los límites laterales son distintos (\( L^- \neq L^+ \)), el límite global no existe (salto finito).

📌 Ejemplo Concreto: Estudio de Límites Laterales en Función a Trozos

Enunciado: Determinar si existe el límite global en el punto de cambio de rama \( x = 2 \) para la función a trozos:

f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite lateral por la izquierda seleccionando la rama correspondiente a valores menores que 2. A continuación calcularemos el límite lateral por la derecha seleccionando la rama correspondiente a valores mayores que 2. Para terminar compararemos los dos valores obtenidos y dictaminaremos si existe el límite global.

Paso 1: Cálculo detallado del límite lateral izquierdo (\( x \to 2^- \))

Para aproximarnos a 2 por valores estrictamente menores (\( x < 2 \)), tomamos la rama lineal \( f(x) = 3x - 1 \). Por ser una función continua, calculamos el valor por sustitución directa:

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x - 1) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5

Paso 2: Cálculo detallado del límite lateral derecho (\( x \to 2^+ \))

Para aproximarnos a 2 por valores estrictamente mayores (\( x > 2 \)), tomamos la rama cuadrática \( f(x) = x^2 + 1 \). Evaluamos sustituyendo \( x = 2 \):

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5

Paso 3: Comparación de límites laterales y conclusión

Comparamos los valores obtenidos en ambas aproximaciones unilaterales:

\lim_{x \to 2^-} f(x) = 5 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5 \implies \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5

Conclusión: Al existir ambos límites laterales y ser estrictamente iguales a \( 5 \), se cumple el teorema de existencia y por tanto existe el límite global siendo su valor \( \lim_{x \to 2} f(x) = 5 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Función a trozos con salto finito en el punto de empalme

Enunciado: Estudiar la existencia del límite en el punto de cambio de definición \( x = 1 \) para la función:

f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite lateral por la izquierda seleccionando la rama lineal para valores menores que uno. A continuación calcularemos el límite lateral por la derecha seleccionando la rama cuadrática para valores mayores que uno. Para terminar compararemos los resultados de ambos límites unilaterales y concluiremos si existe o no el límite global.

Paso 1: Cálculo del límite lateral izquierdo (\( x \to 1^- \))

Para valores menores que 1 (\( x < 1 \)), la función está definida por la recta \( f(x) = 2x + 3 \). Al ser un polinomio continuo, evaluamos por sustitución:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

Paso 2: Cálculo del límite lateral derecho (\( x \to 1^+ \))

Para valores mayores o iguales que 1 (\( x \ge 1 \)), la función está definida por la parábola \( f(x) = x^2 + 1 \). Evaluamos sustituyendo:

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Paso 3: Comparación de límites y dictamen de existencia

Comparamos los dos resultados obtenidos:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5 \neq 2 = \lim_{x \to 1^+} f(x)

Conclusión: Puesto que los límites laterales son finitos pero distintos, no se cumple la condición de coincidencia. Por consiguiente, no existe el límite global (\( \nexists \lim_{x \to 1} f(x) \)), presentándose una discontinuidad inevitable de salto finito de amplitud \( |5 - 2| = 3 \).

Ejemplo 2: Salto finito en función con valor absoluto (Función Signo)

Enunciado: Estudiar la existencia del límite en el origen (\( x = 0 \)) de la función signo expresada como:

f(x) = \frac{x}{|x|}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por desglosar algebraicamente el valor absoluto según el signo de la variable x para reescribir la función a trozos. A continuación calcularemos los límites laterales por la izquierda y por la derecha en cero. Para terminar compararemos los límites obtenidos y dictaminaremos si existe el límite global.

Paso 1: Desglose algebraico del valor absoluto

Recordamos la definición rigurosa del valor absoluto: \( |x| = -x \) si \( x < 0 \), y \( |x| = x \) si \( x > 0 \). Para \( x \neq 0 \), reescribimos la función simplificada:

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{-x} = -1 & \text{si } x < 0 \\[2ex] \dfrac{x}{x} = 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}

Paso 2: Evaluación exhaustiva de los límites laterales en \( x = 0 \)

Calculamos el límite lateral por la izquierda (\( x < 0 \)):

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1

Calculamos el límite lateral por la derecha (\( x > 0 \)):

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1) = 1

Paso 3: Comparación de resultados y dictamen final

Comparamos ambos límites laterales:

\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \neq 1 = \lim_{x \to 0^+} f(x)

Conclusión: Al diferir los límites laterales, no existe el límite global en el origen (\( \nexists \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} \)), existiendo una discontinuidad no evitable de salto finito con amplitud \( 2 \).

Ejemplo 3: Análisis de límites laterales en la Función Parte Entera

Enunciado: Analizar la existencia del límite de la función parte entera \( f(x) = \lfloor x \rfloor \) en el valor entero \( x = 3 \), y generalizar para cualquier entero \( k \in \mathbb{Z} \).

\lim_{x \to 3} \lfloor x \rfloor

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento de la función parte entera en los entornos inmediatos a la izquierda y derecha de tres. A continuación calcularemos formalmente ambos límites unilaterales evaluando la definición. Para terminar generalizaremos el resultado para cualquier número entero k y concluiremos.

Paso 1: Definición y comportamiento en entornos laterales de \( x = 3 \)

La función parte entera asigna a cada número el mayor entero menor o igual que él:

Aproximación por la izquierda (\( x \to 3^- \)): para valores como \( 2,9 \) o \( 2,99 \) en \( [2, 3) \), su parte entera es constantemente \( \lfloor x \rfloor = 2 \).
Aproximación por la derecha (\( x \to 3^+ \)): para valores como \( 3,1 \) o \( 3,01 \) en \( [3, 4) \), su parte entera es constantemente \( \lfloor x \rfloor = 3 \).

Paso 2: Cálculo formal de los límites laterales

Evaluamos los límites unilaterales a partir del análisis previo:

\lim_{x \to 3^-} \lfloor x \rfloor = 2, \qquad \lim_{x \to 3^+} \lfloor x \rfloor = 3

Paso 3: Generalización a cualquier entero \( k \in \mathbb{Z} \) y conclusión

Puesto que los límites laterales no coinciden (\( 2 \neq 3 \)), el límite en \( x = 3 \) no existe. Para cualquier entero general \( k \in \mathbb{Z} \):

\lim_{x \to k^-} \lfloor x \rfloor = k - 1, \qquad \lim_{x \to k^+} \lfloor x \rfloor = k

Conclusión: Al diferir siempre en una unidad (\( k - (k - 1) = 1 \)), la función parte entera carece de límite en todos los números enteros: \( \forall k \in \mathbb{Z} \implies \nexists \lim_{x \to k} \lfloor x \rfloor \).