Límite infinito en un punto

1. Definición de Límite Infinito

Una función \( f(x) \) tiene límite \( +\infty \) (o \( -\infty \)) en \( x = c \) cuando los valores de \( f(x) \) crecen (o decrecen) indefinidamente a medida que \( x \) se aproxima a \( c \):

\[ \lim_{x \to c} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, \; \exists \delta > 0 \text{ tal que si } 0 < |x - c| < \delta \implies f(x) > M \]

Asíntota Vertical: Si \( \lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty \) (o alguno de sus laterales), la recta vertical \( x = c \) es una asíntota vertical de la curva.

Caso \( k/0 \) con \( k \neq 0 \): La anulación del denominador con numerador no nulo genera divergencia a \( \pm\infty \). Es obligatorio estudiar los signos laterales.

📌 Ejemplo Concreto: Divergencia y Asíntota Vertical en Denominador con Potencia Par

Enunciado: Determinar el comportamiento asintótico y calcular el límite en el punto crítico \( x = 4 \) de la función racional:

f(x) = \frac{1}{(x - 4)^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar la anulación del denominador para clasificar la indeterminación del tipo k entre cero. A continuación calcularemos los límites laterales por la izquierda y por la derecha prestando atención al signo que impone la potencia cuadrática. Para terminar concluiremos sobre el valor del límite global y la existencia de la asíntota vertical.

Paso 1: Identificación del tipo de indeterminación

Evaluamos en \( x = 4 \): el numerador es una constante positiva no nula \( 1 \), mientras que el denominador se anula: \( (4 - 4)^2 = 0 \). Estamos ante el tipo \( \left[\dfrac{1}{0}\right] \), lo que indica la presencia de una asíntota vertical en \( x = 4 \).

Paso 2: Evaluación exhaustiva de los límites laterales

Calculamos el límite aproximándonos por la izquierda (\( x \to 4^- \), por ejemplo \( x = 3,99 \)):

\lim_{x \to 4^-} \frac{1}{(x - 4)^2} = \frac{1}{(0^-)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty

Calculamos el límite aproximándonos por la derecha (\( x \to 4^+ \), por ejemplo \( x = 4,01 \)):

\lim_{x \to 4^+} \frac{1}{(x - 4)^2} = \frac{1}{(0^+)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty

Paso 3: Conclusión sobre límite global y asíntota vertical

Dado que ambos límites laterales divergen hacia el mismo infinito positivo (\( +\infty = +\infty \)):

\lim_{x \to 4} \frac{1}{(x - 4)^2} = +\infty

Conclusión: El límite global existe en sentido extendido y es \( +\infty \). La recta \( x = 4 \) constituye una asíntota vertical bilateral de la curva.

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Indeterminación tipo k/0 con límites laterales de signos opuestos

Enunciado: Determinar el límite en \( x = 2 \) de la función recíproca desplazada \( f(x) = \dfrac{3}{x - 2} \) y estudiar su comportamiento asintótico.

\lim_{x \to 2} \frac{3}{x - 2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la anulación del denominador identificando la forma k entre cero. A continuación evaluaremos de forma independiente los límites laterales distinguiendo los signos de aproximación del denominador. Para terminar compararemos los resultados laterales y concluiremos sobre la existencia del límite global y de la asíntota vertical.

Paso 1: Detección de la forma k/0

Al sustituir \( x = 2 \), obtenemos \( \frac{3}{2 - 2} = \left[\frac{3}{0}\right] \). Como el numerador es una constante no nula y el denominador tiende a cero, el límite diverge hacia infinito. Es obligatorio calcular los límites laterales para discernir los signos.

Paso 2: Cálculo detallado de los límites laterales

Aproximación por la izquierda (\( x \to 2^- \)): tomamos valores menores que 2 (\( x - 2 < 0 \)):

\lim_{x \to 2^-} \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{0^-} = -\infty

Aproximación por la derecha (\( x \to 2^+ \)): tomamos valores mayores que 2 (\( x - 2 > 0 \)):

\lim_{x \to 2^+} \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{0^+} = +\infty

Paso 3: Conclusión y comportamiento asintótico

Conclusión: Al tener signos opuestos (\( -\infty \neq +\infty \)), no existe el límite global en \( x = 2 \). La recta vertical \( x = 2 \) es una asíntota vertical de la función con ramas divergentes en sentido contrario.

Ejemplo 2: Denominador con potencia par y coincidencia de signo en el infinito

Enunciado: Calcular razonadamente el límite en el punto crítico \( x = -1 \) de la función racional:

\lim_{x \to -1} \frac{-5}{(x + 1)^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el signo del numerador y la anulación del denominador. A continuación calcularemos los límites laterales analizando el signo que impone la potencia al cuadrado en el denominador. Para terminar determinaremos si los laterales coinciden y formularemos la conclusión final.

Paso 1: Análisis de signos de los componentes

Al sustituir \( x = -1 \), el numerador es constantemente negativo (\( -5 < 0 \)), mientras que el denominador es \( (-1 + 1)^2 = 0 \). El cuadrado garantiza que para cualquier \( x \neq -1 \), \( (x + 1)^2 > 0 \).

Paso 2: Evaluación lateral de signos

Evaluamos por la izquierda (\( x \to -1^- \)):

\lim_{x \to -1^-} \frac{-5}{(x + 1)^2} = \frac{-5}{(0^-)^2} = \frac{-5}{0^+} = -\infty

Evaluamos por la derecha (\( x \to -1^+ \)):

\lim_{x \to -1^+} \frac{-5}{(x + 1)^2} = \frac{-5}{(0^+)^2} = \frac{-5}{0^+} = -\infty

Paso 3: Conclusión

Conclusión: Puesto que ambos límites laterales coinciden en \( -\infty \), el límite global existe en sentido amplio y su valor es \( \lim_{x \to -1} \frac{-5}{(x + 1)^2} = -\infty \), existiendo una asíntota vertical en \( x = -1 \).

Ejemplo 3: Límite unilateral de la función logarítmica en el extremo del dominio

Enunciado: Estudiar analíticamente el comportamiento de la función logaritmo neperiano \( f(x) = \ln x \) cuando \( x \) se aproxima a cero por la derecha.

\lim_{x \to 0^+} \ln x

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar el dominio de definición de la función logarítmica para justificar por qué solo tiene sentido el límite lateral derecho. A continuación aplicaremos la definición del logaritmo como inversa de la función exponencial para analizar su divergencia. Para terminar enunciaremos la conclusión y la asíntota vertical en el eje de ordenadas.

Paso 1: Dominio de definición y restricción lateral

La función logaritmo neperiano está definida exclusivamente para números reales estrictamente positivos: \( \text{Dom}(\ln) = (0, +\infty) \). Por consiguiente, es matemáticamente imposible aproximarse por la izquierda de cero (\( x \to 0^- \)); solo tiene sentido el límite lateral por la derecha (\( x \to 0^+ \)).

Paso 2: Deducción analítica mediante la función inversa exponencial

Si llamamos \( y = \ln x \), por definición de logaritmo esto equivale a \( x = e^y \). Cuando \( x \to 0^+ \), para que la potencia \( e^y \) se haga infinitesimalmente pequeña y tienda a cero, su exponente \( y \) debe decrecer indefinidamente hacia \( -\infty \):

x \to 0^+ \iff e^y \to 0^+ \iff y \to -\infty

Paso 3: Conclusión

Conclusión: Obtenemos formalmente que \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \). El eje de ordenadas (\( x = 0 \)) constituye una asíntota vertical unilateral por la derecha para la curva logarítmica.