Límite de una función en el infinito

1. Comportamiento en el Extremo del Dominio

Estudiar el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to +\infty \) (o \( x \to -\infty \)) consiste en analizar la tendencia de los valores de la función cuando la variable independiente crece o decrece sin cota en la recta real.

Asíntota Horizontal: Si \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \) (con \( L \in \mathbb{R} \)), la recta \( y = L \) es una asíntota horizontal en \( +\infty \). Análogamente para \( -\infty \).

Divergencia Infinita: Si el límite es \( \pm\infty \), la función no tiene asíntota horizontal en esa rama y presenta una rama parabólica o asintótica oblicua.

📌 Ejemplo Concreto: Asíntotas Horizontales en Funciones Exponenciales Desplazadas

Enunciado: Determinar los límites en \( +\infty \) y en \( -\infty \) para la función exponencial desplazada \( f(x) = 3 + 2^{-x} \), indicando la existencia de asíntotas horizontales:

\lim_{x \to +\infty} (3 + 2^{-x}) \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to -\infty} (3 + 2^{-x})

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite cuando x tiende a más infinito evaluando el comportamiento de la potencia de exponente negativo. A continuación calcularemos el límite cuando x tiende a menos infinito analizando la divergencia de la base mayor que uno. Para terminar interpretaremos los resultados determinando las asíntotas horizontales de la función.

Paso 1: Cálculo del límite en el extremo positivo (\( x \to +\infty \))

Expresamos la potencia negativa como fracción: \( 2^{-x} = \dfrac{1}{2^x} \). Al tender \( x \to +\infty \), la potencia \( 2^{+\infty} = +\infty \), por lo que:

\lim_{x \to +\infty} (3 + 2^{-x}) = 3 + \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2^x} = 3 + \frac{1}{+\infty} = 3 + 0 = 3

Paso 2: Cálculo del límite en el extremo negativo (\( x \to -\infty \))

Al sustituir \( x \to -\infty \), el exponente se transforma en positivo: \( -(-\infty) = +\infty \):

\lim_{x \to -\infty} (3 + 2^{-x}) = 3 + 2^{-(-\infty)} = 3 + 2^{+\infty} = 3 + (+\infty) = +\infty

Paso 3: Conclusión e interpretación asintótica

Conclusión: Por la rama derecha (\( x \to +\infty \)), el límite es finito e igual a 3, por lo que la recta horizontal \( y = 3 \) es una asíntota horizontal hacia \( +\infty \). Por la rama izquierda (\( x \to -\infty \)), la función diverge sin cota hacia \( +\infty \), careciendo de asíntota horizontal en esa dirección.

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Potencias recíprocas en el infinito y asíntota horizontal nula

Enunciado: Calcular el límite en el infinito de la función potencial recíproca cuadrática:

\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la propiedad del límite de una constante dividida por una potencia positiva de x en el infinito. A continuación aplicaremos la propiedad sustituyendo el valor infinito en el denominador. Para terminar concluiremos sobre el valor del límite y la asíntota horizontal asociada.

Paso 1: Fundamentación teórica de fracciones recíprocas

Para cualquier constante finita \( k \in \mathbb{R} \) y cualquier exponente real positivo \( p > 0 \), se verifica la propiedad fundamental: \( \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x^p} = 0 \).

Paso 2: Evaluación analítica

Aplicamos la propiedad con \( k = 5 \) y \( p = 2 \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x^2} = \frac{5}{(+\infty)^2} = \frac{5}{+\infty} = 0

Paso 3: Conclusión

Conclusión: El límite es \( 0 \), y la recta horizontal \( y = 0 \) (el eje de abscisas) es la asíntota horizontal de la curva en \( +\infty \).

Ejemplo 2: Asimetría del límite de la función exponencial en más y menos infinito

Enunciado: Determinar y justificar los límites de la función exponencial natural \( f(x) = e^x \) en ambos extremos del infinito:

\lim_{x \to +\infty} e^x \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento de la base del número e para exponente positivo grande. A continuación calcularemos el límite para exponente negativo grande aplicando la inversión de potencias. Para terminar compararemos los resultados de ambas ramas y concluiremos.

Paso 1: Evaluación en más infinito (\( x \to +\infty \))

Dado que la base es estrictamente mayor que uno (\( e \approx 2,718 > 1 \)), la multiplicación sucesiva de una cantidad mayor que 1 por sí misma diverge sin límite:

\lim_{x \to +\infty} e^x = e^{+\infty} = +\infty

Paso 2: Evaluación en menos infinito (\( x \to -\infty \))

Transformamos el exponente negativo en positivo en el denominador aplicando \( e^{-t} = \frac{1}{e^t} \):

\lim_{x \to -\infty} e^x = \lim_{t \to +\infty} e^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = \frac{1}{+\infty} = 0

Paso 3: Conclusión

Conclusión: La función exponencial presenta un comportamiento asimétrico: diverge hacia \( +\infty \) por la derecha y tiende asintóticamente a \( 0 \) por la izquierda, teniendo como asíntota horizontal la recta \( y = 0 \) exclusivamente para \( x \to -\infty \).

Ejemplo 3: Límites de la función arco tangente y asíntotas acotadas

Enunciado: Calcular razonadamente los límites de la función inversa trigonométrica \( f(x) = \arctan x \) cuando \( x \to \pm\infty \).

\lim_{x \to +\infty} \arctan x \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to -\infty} \arctan x

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar la función arco tangente con las asíntotas verticales de la función tangente en el intervalo menos pi medios a pi medios. A continuación calcularemos el límite en más infinito identificando el ángulo correspondiente. Para terminar calcularemos el límite en menos infinito y enunciaremos las dos asíntotas horizontales obtenidas.

Paso 1: Relación con la función tangente fundamental

La función \( y = \arctan x \) es la inversa de la tangente restringida al intervalo \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \). En dicho intervalo, la función tangente verifica:

\lim_{y \to (\pi/2)^-} \tan y = +\infty, \qquad \lim_{y \to (-\pi/2)^+} \tan y = -\infty

Paso 2: Deducción de los límites en el infinito

Al invertir los papeles de las variables independiente y dependiente:

\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}

Paso 3: Conclusión

Conclusión: La función arco tangente es una función acotada que posee dos asíntotas horizontales distintas: \( y = \frac{\pi}{2} \) cuando \( x \to +\infty \), y \( y = -\frac{\pi}{2} \) cuando \( x \to -\infty \).