Operaciones con límites - Matemáticas II

1. Álgebra de Límites Finitos

Si los límites \( \lim_{x \to c} f(x) = L \) y \( \lim_{x \to c} g(x) = M \) existen y son números reales finitos, se verifican las siguientes propiedades algebraicas fundamentales:

Suma y Resta: \( \lim [f(x) \pm g(x)] = L \pm M \). El límite de una combinación aditiva es la suma o resta de los límites individuales.

Producto y Escalar: \( \lim [k \cdot f(x)] = k \cdot L \) y \( \lim [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M \). Las constantes multiplicativas pueden extraerse fuera del operador límite.

Cociente: \( \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \), siempre que \( M \neq 0 \). Si \( M = 0 \), se genera una indeterminación de tipo \( [k/0] \) o \( [0/0] \).

Potencia y Composición Continua: \( \lim [f(x)]^{g(x)} = L^M \) (con \( L > 0 \)). Si \( h \) es continua en \( L \), entonces \( \lim h(f(x)) = h(L) \).

📌 Ejemplo Concreto: Aplicación de las Leyes del Álgebra de Límites

Enunciado: Sabiendo que \( \lim_{x \to 1} f(x) = 4 \) y \( \lim_{x \to 1} g(x) = -2 \), calcular de forma analítica y justificada el límite de la expresión combinada:

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{f(x)} + 3g(x)}{[g(x)]^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las hipótesis del álgebra de límites comprobando que los límites parciales son finitos y que el denominador no se anula. A continuación distribuiremos el operador límite sobre la raíz, el producto escalar y la potencia del denominador. Para terminar sustituiremos los valores conocidos y realizaremos las operaciones aritméticas para hallar el resultado final.

Paso 1: Comprobación de hipótesis de no anulación

Calculamos el límite del denominador para asegurar que no se produce división por cero:

\lim_{x \to 1} [g(x)]^2 = \left( \lim_{x \to 1} g(x) \right)^2 = (-2)^2 = 4 \neq 0

Al ser el denominador finito y no nulo, podemos aplicar la regla del cociente de límites.

Paso 2: Distribución del límite sobre cada operador algebraico

Aplicamos las reglas de la raíz, la suma y el producto por un escalar en el numerador:

\lim_{x \to 1} \left( \sqrt{f(x)} + 3g(x) \right) = \sqrt{\lim_{x \to 1} f(x)} + 3 \cdot \lim_{x \to 1} g(x) = \sqrt{4} + 3(-2) = 2 - 6 = -4

Paso 3: Cálculo del cociente final y conclusión

Unificamos numerador y denominador aplicando la propiedad del cociente:

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{f(x)} + 3g(x)}{[g(x)]^2} = \frac{-4}{4} = -1

Conclusión: El límite de la expresión combinada existe y su valor exacto es \( -1 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Combinación lineal y potencias con límites finitos

Enunciado: Dadas dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) tales que \( \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \) y \( \lim_{x \to 2} g(x) = -2 \), calcula razonadamente el límite de la siguiente expresión combinada:

\lim_{x \to 2} \left( [f(x)]^2 - 4g(x) + 5 \right)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar las propiedades del álgebra de límites finitos aplicables a la suma, resta y potencias. A continuación distribuiremos el operador límite sobre cada uno de los sumandos sustituyendo los valores conocidos dados en el enunciado. Para terminar realizaremos las operaciones aritméticas sin omitir ningún paso intermedio y formularemos la conclusión.

Paso 1: Fundamento teórico del álgebra de límites finitos

Puesto que los límites de \( f(x) \) y \( g(x) \) en \( x = 2 \) existen y son números reales finitos, podemos aplicar las propiedades del álgebra de límites: el límite de una suma o resta es la suma o resta de los límites, el límite de un producto por una constante es la constante por el límite, y el límite de una potencia entera es la potencia del límite.

Paso 2: Desglose término a término y sustitución algebraica

Distribuimos el operador límite sobre cada uno de los sumandos:

\lim_{x \to 2} \left( [f(x)]^2 - 4g(x) + 5 \right) = \left( \lim_{x \to 2} f(x) \right)^2 - 4 \cdot \left( \lim_{x \to 2} g(x) \right) + \lim_{x \to 2} 5

Sustituimos los valores conocidos dados en el enunciado (\( \lim f(x) = 3 \), \( \lim g(x) = -2 \) y la constante 5):

= (3)^2 - 4 \cdot (-2) + 5 = 9 - (-8) + 5 = 9 + 8 + 5 = 22

Paso 3: Conclusión

Conclusión: Al no presentarse ninguna indeterminación en las operaciones intermedias, el límite de la expresión combinada existe y es exactamente igual a \( 22 \).

Ejemplo 2: Límite de una función potencial-exponencial continua

Enunciado: Calcular de forma analítica y detallada el límite en el punto \( x = 1 \) de la función potencial-exponencial:

\lim_{x \to 1} (2x+1)^{x+2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por justificar la propiedad del límite de una potencia funcional en términos de los límites independientes de la base y del exponente. A continuación calcularemos por separado el límite de la base y del exponente evaluando las funciones polinómicas continuas. Para terminar elevaremos la base al exponente obtenido y dictaminaremos el resultado final.

Paso 1: Fundamentación teórica del límite de potencias funcionales

Para una función de la forma \( [u(x)]^{v(x)} \), si la base y el exponente tienen límites finitos \( \lim u(x) = A > 0 \) y \( \lim v(x) = B \), el límite de la potencia se calcula directamente como: \( \lim [u(x)]^{v(x)} = A^B \), siempre que no se produzca una forma indeterminada del tipo \( [1^\infty] \), \( [0^0] \) o \( [\infty^0] \).

Paso 2: Evaluación independiente de la base y del exponente

Dado que tanto \( 2x+1 \) como \( x+2 \) son polinomios continuos en \( \mathbb{R} \), evaluamos por sustitución directa en \( x = 1 \):

Límite de la base: \( \lim_{x \to 1} (2x+1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \).
Límite del exponente: \( \lim_{x \to 1} (x+2) = 1 + 2 = 3 \).

Paso 3: Cálculo del resultado final y conclusión

Sustituyendo ambos resultados en la propiedad de la potencia:

\lim_{x \to 1} (2x+1)^{x+2} = 3^3 = 27

Conclusión: El límite existe y vale \( 27 \), sin requerir transformaciones logarítmicas especiales por tratarse de un caso determinado.

Ejemplo 3: Límite de una composición de funciones continuas (Logaritmo)

Enunciado: Sabiendo que una función \( f(x) \) verifica \( \lim_{x \to c} f(x) = e^2 \), calcula de forma justificada el límite:

\lim_{x \to c} \ln\left(\frac{f(x)}{e}\right)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar el teorema del límite de una composición continua que permite conmutar el logaritmo con el operador límite. A continuación calcularemos el límite del argumento interior fraccionario aplicando las propiedades del álgebra de límites. Para terminar aplicaremos la función logaritmo neperiano al valor resultante y formularemos la conclusión.

Paso 1: Teorema del límite de la composición continua

Si una función exterior \( h(t) \) es continua en \( t = L \), y \( \lim_{x \to c} u(x) = L \), entonces el operador límite puede conmutar con la función: \( \lim_{x \to c} h(u(x)) = h(\lim_{x \to c} u(x)) \). La función logaritmo neperiano \( \ln(t) \) es estrictamente continua en todo su dominio real positivo \( (0, +\infty) \).

Paso 2: Evaluación del argumento interior

Calculamos el límite del cociente dentro del logaritmo:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{e} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{e} = \frac{e^2}{e} = e

El argumento tiende a \( e \), que es un valor estrictamente positivo (\( e > 0 \)).

Paso 3: Aplicación del logaritmo y conclusión

Conmutamos el límite con la función logarítmica:

\lim_{x \to c} \ln\left(\frac{f(x)}{e}\right) = \ln\left( \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{e} \right) = \ln(e) = 1

Conclusión: El límite de la función compuesta existe y es exactamente igual a \( 1 \).