Indeterminaciones del tipo 0 entre 0

1. Métodos Algebraicos para \( [0/0] \)

La indeterminación \( [0/0] \) se presenta típicamente en cocientes evaluados en un punto finito \( x = c \). Se resuelve mediante tres técnicas analíticas:

Factorización de Polinomios: Si \( P(c) = 0 \) y \( Q(c) = 0 \), por el Teorema del Factor ambos polinomios son divisibles entre \( (x - c) \). Se factoriza por Ruffini o identidades notables y se cancela el factor común.

Multiplicación por el Conjugado: En presencia de raíces cuadradas, se multiplica y divide por el binomio conjugado para racionalizar el término que causa la anulación.

Infinitésimos o L'Hôpital: Si intervienen funciones trascendentes, se sustituyen por infinitésimos equivalentes o se aplica la regla de L'Hôpital.

📌 Ejemplo Concreto: Factorización Racional mediante Raíz Común

Enunciado: Calcular de forma analítica y detallada el siguiente límite en el punto finito \( x = 3 \):

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la anulación simultánea del numerador y del denominador en tres aplicando el teorema del factor. A continuación factorizaremos ambos polinomios descomponiéndolos en producto de binomios. Para terminar cancelaremos el factor indeterminado x menos tres y calcularemos el límite final.

Paso 1: Comprobación de la indeterminación cero entre cero

Evaluamos sustituyendo directamente \( x = 3 \):

\frac{3^2 - 9}{3^2 - 5(3) + 6} = \frac{9 - 9}{9 - 15 + 6} = \left[\frac{0}{0}\right]

Al anularse ambos polinomios en \( x = 3 \), el binomio \( (x - 3) \) es divisor común de ambos.

Paso 2: Factorización de numerador y denominador

Factorizamos algebraicamente:

Numerador (diferencia de cuadrados): \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \).
Denominador: las raíces de \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) son \( x = 3 \) y \( x = 2 \), luego: \( x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \).

Paso 3: Cancelación del factor nulo y conclusión

Cancelamos el factor \( (x - 3) \neq 0 \) y evaluamos el límite resultante:

\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x - 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x - 2} = \frac{3 + 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6

Conclusión: Tras eliminar la indeterminación, el límite existe y es igual a \( 6 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Factorización cuadrática por descomposición de raíces

Enunciado: Resolver paso a paso el siguiente límite de funciones algebraicas racionales:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la anulación del numerador y del denominador identificando la indeterminación cero entre cero. A continuación factorizaremos ambos polinomios de segundo grado para aislar el factor común x menos dos. Para terminar simplificaremos el factor de indeterminación y evaluaremos el cociente resultante.

Paso 1: Detección de la indeterminación y aplicación del Teorema del Factor

Evaluamos por sustitución directa en \( x = 2 \):

\frac{2^2 - 4}{2^2 - 3(2) + 2} = \frac{4 - 4}{4 - 6 + 2} = \left[\frac{0}{0}\right]

Ambos polinomios son exactamente divisibles entre \( (x - 2) \).

Paso 2: Factorización completa de numerador y denominador

Factorizamos cada polinomio:

Numerador: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
Denominador: \( x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) \).

Paso 3: Cancelación del factor nulo y evaluación

Cancelamos el factor común \( (x - 2) \neq 0 \):

\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{2 + 2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4

Conclusión: El límite es \( 4 \).

Ejemplo 2: Indeterminación cero entre cero con radicales mediante técnica del conjugado

Enunciado: Calcular de forma analítica el siguiente límite irracional en el origen:

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la presencia de la indeterminación cero entre cero en una expresión con raíz cuadrada. A continuación multiplicaremos y dividiremos la fracción por el binomio conjugado del numerador desarrollando la diferencia de cuadrados. Para terminar simplificaremos la variable x en numerador y denominador y evaluaremos el límite final.

Paso 1: Comprobación de la indeterminación y elección del conjugado

Sustituyendo \( x = 0 \): \( \frac{\sqrt{1+0} - 1}{0} = \frac{0}{0} \). Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador: \( \sqrt{1+x} + 1 \).

Paso 2: Desarrollo del producto notable en el numerador

Multiplicamos aplicando \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \):

\frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)}

Paso 3: Cancelación de la variable indeterminante y cálculo del límite

Cancelamos la variable \( x \) para \( x \neq 0 \):

\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2}

Conclusión: El límite existe y es igual a \( \frac{1}{2} \).

Ejemplo 3: Factorización de polinomios cúbicos por la regla de Ruffini

Enunciado: Determinar el valor del siguiente límite racional aplicando factorización de grado superior:

\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que ambos polinomios admiten a uno como raíz común generando la indeterminación cero entre cero. A continuación factorizaremos el polinomio cúbico y el cuadrático descomponiéndolos en factores irreducibles. Para terminar cancelaremos el binomio x menos uno y calcularemos el valor exacto del límite.

Paso 1: Detección de indeterminación y descomposición polinómica

Sustituyendo \( x = 1 \), obtenemos \( \frac{1 - 1}{1 - 1} = [\frac{0}{0}] \). Ambos polinomios admiten división exacta por \( (x - 1) \).

Paso 2: Factorización de numerador y denominador

Aplicamos las reglas de factorización:

Numerador (diferencia de cubos): \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \).
Denominador (diferencia de cuadrados): \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).

Paso 3: Cancelación y evaluación numérica

Sustituimos y cancelamos \( (x - 1) \):

\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}

Conclusión: El límite es \( \frac{3}{2} \).