Indeterminaciones del tipo infinito menos infinito

1. Resolución de \( [\infty - \infty] \)

La indeterminación \( [\infty - \infty] \) ocurre cuando se restan dos términos que tienden a infinito positivo. Dependiendo de la estructura analítica de la función, se emplean tres métodos sistemáticos:

Expresiones con Radicales: Multiplicar y dividir por la expresión conjugada utilizando la identidad notable \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) para eliminar la resta de raíces y transformarla en un cociente de tipo \( [\infty/\infty] \).

Resta de Fracciones Algebraicas: Reducir ambas fracciones a un común denominador mediante el mínimo común múltiplo de sus denominadores para unificar la expresión en un único cociente.

Polinomios: Extraer como factor común de toda la expresión la máxima potencia de \( x \), quedando el límite determinado por el monomio principal.

📌 Ejemplo Concreto: Resolución de Indeterminación con Radicales por el Método del Conjugado

Enunciado: Calcular de forma analítica y rigurosa el límite en el infinito de la función irracional:

\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x \right)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la presencia de la indeterminación infinito menos infinito y plantear la multiplicación por el conjugado. A continuación desarrollaremos el producto notable del numerador para cancelar las potencias cuadráticas. Para terminar dividiremos el numerador y el denominador por la variable x para evaluar el límite final.

Paso 1: Planteamiento y multiplicación por la expresión conjugada

Al sustituir directamente \( x \to +\infty \), observamos \( \sqrt{+\infty} - (+\infty) = [\infty - \infty] \). Multiplicamos y dividimos por el binomio conjugado \( \sqrt{x^2 + 4x} + x \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2 + 4x} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 4x} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}

Paso 2: Desarrollo algebraico del numerador

Aplicamos la identidad de diferencia de cuadrados \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\left(\sqrt{x^2 + 4x}\right)^2 - x^2 = (x^2 + 4x) - x^2 = 4x

La expresión se transforma en un cociente determinado en el infinito:

\lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}

Paso 3: Extracción de factor común y conclusión

Sacamos factor común \( x \) en el denominador (dado que \( \sqrt{x^2} = x \) para \( x > 0 \)):

\lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{x\left( \sqrt{1 + \dfrac{4}{x}} + 1 \right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \dfrac{4}{x}} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{2} = 2

Conclusión: El límite de la función irracional existe y es exactamente igual a \( 2 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Conjugado con raíz cuadrada e indeterminación infinito menos infinito

Enunciado: Calcular detalladamente el límite en el infinito de la siguiente función irracional:

\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la presencia de la forma indeterminada infinito menos infinito y elegir la expresión conjugada correspondiente. A continuación multiplicaremos y dividiremos por dicho conjugado aplicando la identidad notable de diferencia de cuadrados en el numerador. Para terminar extraeremos la máxima potencia de x en el denominador para resolver el cociente resultante y concluiremos.

Paso 1: Detección de la indeterminación y planteamiento del conjugado

Al sustituir directamente \( x \to +\infty \), observamos que \( \sqrt{(+\infty)^2 + 5(+\infty)} - (+\infty) = [\infty - \infty] \). Multiplicamos y dividimos por el conjugado con signo positivo \( \sqrt{x^2 + 5x} + x \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2 + 5x} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 5x} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 5x} + x}

Paso 2: Desarrollo algebraico y simplificación del numerador

Efectuamos el producto notable en el numerador cancelando la raíz cuadrada:

\left(\sqrt{x^2 + 5x}\right)^2 - x^2 = (x^2 + 5x) - x^2 = 5x

La expresión se transforma en un cociente con indeterminación \( [\frac{\infty}{\infty}] \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 5x} + x}

Paso 3: Extracción de la máxima potencia y cálculo final

Extraemos factor común \( x \) en el denominador y cancelamos para evaluar el límite:

\lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{x\left( \sqrt{1 + \dfrac{5}{x}} + 1 \right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{\sqrt{1 + \dfrac{5}{x}} + 1} = \frac{5}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{5}{2}

Conclusión: El límite existe y es exactamente igual a \( \frac{5}{2} \).

Ejemplo 2: Resta de fracciones algebraicas en un punto finito

Enunciado: Calcular de forma analítica el siguiente límite en el punto finito \( x = 1 \):

\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} \right)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito menos infinito y descomponer factorialmente los denominadores. A continuación reduciremos ambas fracciones a común denominador unificándolas en una sola fracción algebraica. Para terminar simplificaremos el factor común que produce la anulación y calcularemos el límite.

Paso 1: Identificación de la indeterminación y cálculo del mínimo común múltiplo

Al sustituir \( x = 1 \), obtenemos \( \frac{1}{0} - \frac{2}{0} = [\infty - \infty] \). Factorizamos el denominador aplicando diferencia de cuadrados: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). El mínimo común denominador es \( (x-1)(x+1) \).

Paso 2: Reducción a común denominador y simplificación

Efectuamos la resta algebraica reduciendo a una única fracción común:

\frac{1}{x-1} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{1 \cdot (x+1) - 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x + 1 - 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x - 1}{(x-1)(x+1)}

Paso 3: Cancelación del factor de indeterminación y resultado

Cancelamos el factor común \( (x - 1) \) que causaba la anulación en numerador y denominador:

\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

Conclusión: La indeterminación se resuelve unificando las fracciones, obteniendo un límite de \( \frac{1}{2} \).

Ejemplo 3: Polinomios en el infinito y dominancia del monomio principal

Enunciado: Justificar algebraicamente la resolución de la indeterminación \( [\infty - \infty] \) en el siguiente límite polinómico:

\lim_{x \to +\infty} \left( 3x^4 - 7x^2 + 2x - 5 \right)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación entre los monomios de signos contrarios de la función polinómica. A continuación extraeremos la máxima potencia como factor común de todo el polinomio para evidenciar el comportamiento asintótico. Para terminar evaluaremos los términos que tienden a cero y concluiremos el resultado a partir del monomio dominante.

Paso 1: Identificación de la indeterminación entre monomios

Al evaluar directamente: \( 3(+\infty)^4 - 7(+\infty)^2 = [\infty - \infty] \). En funciones polinómicas, el sumando con mayor exponente crece a un orden de magnitud superior a los demás.

Paso 2: Extracción rigurosa de la máxima potencia como factor común

Extraemos \( x^4 \) como factor común de todo el polinomio:

3x^4 - 7x^2 + 2x - 5 = x^4 \left( 3 - \frac{7}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{5}{x^4} \right)

Paso 3: Evaluación de los términos fraccionarios y conclusión

Cuando \( x \to +\infty \), los términos fraccionarios tienden a cero:

\lim_{x \to +\infty} \left( 3 - \frac{7}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{5}{x^4} \right) = 3 - 0 + 0 - 0 = 3

Multiplicando por el factor extraído:

\lim_{x \to +\infty} \left[ x^4 \cdot 3 \right] = (+\infty) \cdot 3 = +\infty

Conclusión: El límite del polinomio en \( +\infty \) coincide con el límite de su término de mayor grado: \( +\infty \).