Indeterminaciones del tipo infinito entre infinito

1. Métodos de Resolución de \( [\infty/\infty] \)

La indeterminación del tipo \( [\infty/\infty] \) se presenta habitualmente al calcular límites en el infinito de cocientes de polinomios o funciones con radicales. Existen dos métodos rigurosos de resolución:

División por la Máxima Potencia: Dividir todos los términos del numerador y del denominador entre la mayor potencia de \( x \) presente en la fracción, aplicando \( \lim \frac{k}{x^p} = 0 \).

Regla de los Grados: Si \( \text{gr}(P) = \text{gr}(Q) \), el límite es el cociente de los coeficientes principales. Si \( \text{gr}(P) < \text{gr}(Q) \), el límite es 0. Si \( \text{gr}(P) > \text{gr}(Q) \), diverge a \( \pm\infty \).

Funciones Irracionales: En presencia de raíces, se debe determinar el grado efectivo considerando el exponente del radicando dividido entre el índice de la raíz.

📌 Ejemplo Concreto: División Sistemática por la Máxima Potencia

Enunciado: Resolver mediante el método algebraico formal de división por la máxima potencia el límite en el infinito:

\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación infinito entre infinito e identificar la mayor potencia presente en la fracción. A continuación dividiremos cada término del numerador y del denominador por dicha potencia simplificando las fracciones resultantes. Para terminar aplicaremos el límite a cada término evaluando las constantes divididas por potencias de x y concluiremos.

Paso 1: Identificación del grado máximo de la fracción

Al sustituir \( x \to +\infty \), obtenemos \( [\frac{\infty}{\infty}] \). El grado máximo presente tanto en el numerador como en el denominador es \( 2 \), correspondiente a la potencia \( x^2 \).

Paso 2: División formal de todos los términos entre \( x^2 \)

Dividimos cada sumando individualmente entre \( x^2 \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{6x^2}{x^2} - \dfrac{5x}{x^2} + \dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{2x^2}{x^2} + \dfrac{3}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{2 + \dfrac{3}{x^2}}

Paso 3: Evaluación de los límites fraccionarios y resultado

Aplicando que \( \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x^p} = 0 \):

\frac{6 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{6}{2} = 3

Conclusión: El límite de la función racional es exactamente \( 3 \), correspondiente al cociente de los coeficientes principales \( 6/2 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Cociente de polinomios del mismo grado con división formal

Enunciado: Resolver razonadamente el siguiente límite en el infinito desarrollando la justificación formal del método algebraico:

\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 - 2x + 1}{2x^3 + 5x^2 - 3}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito entre infinito y determinar la máxima potencia presente en la expresión. A continuación dividiremos cada término de numerador y denominador entre x al cubo desarrollando algebraicamente cada fracción. Para terminar evaluaremos los términos que tienden a cero y calcularemos el cociente de los coeficientes principales.

Paso 1: Identificación de la indeterminación y determinación de la máxima potencia

Al sustituir directamente \( x \to +\infty \), tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, generándose la indeterminación \( [\frac{\infty}{\infty}] \). El grado máximo presente en la fracción racional es \( 3 \) (procedente de \( x^3 \)).

Paso 2: División formal de cada término entre \( x^3 \)

Dividimos todos los términos de numerador y denominador entre \( x^3 \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{4x^3}{x^3} - \dfrac{2x}{x^3} + \dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{5x^2}{x^3} - \dfrac{3}{x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}}{2 + \dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{x^3}}

Paso 3: Evaluación de los límites parciales y conclusión

Aplicamos la propiedad de que cualquier constante dividida entre una potencia positiva de \( x \) tiende a cero cuando \( x \to +\infty \):

\frac{4 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{4}{2} = 2

Conclusión: Al tener el numerador y el denominador el mismo grado, el límite es exactamente el cociente de sus coeficientes principales: \( 2 \).

Ejemplo 2: Funciones con radicales y extracción del factor común de máxima potencia

Enunciado: Calcular de forma rigurosa el límite:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x}}{2x - 5}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el grado asintótico efectivo del numerador con la raíz cuadrada y compararlo con el del denominador. A continuación extraeremos la potencia x al cuadrado fuera del radical convirtiéndola en x para factorizar en numerador y denominador. Para terminar cancelaremos el factor x común y evaluaremos los términos fraccionarios resultantes.

Paso 1: Análisis del grado efectivo en presencia de raíces

Bajo el radical, el término dominante es \( 9x^2 \). Al calcular su raíz cuadrada asintótica para \( x > 0 \): \( \sqrt{9x^2} = 3|x| = 3x \) (dado que \( x \to +\infty \)). El grado efectivo del numerador es \( 1 \), idéntico al grado del denominador \( 2x - 5 \).

Paso 2: Extracción rigurosa de factor común fuera del radical

Extraemos \( x^2 \) dentro de la raíz cuadrada y lo sacamos fuera como factor común \( x \):

\sqrt{9x^2 + 4x} = \sqrt{x^2 \left( 9 + \frac{4}{x} \right)} = x \sqrt{9 + \frac{4}{x}}

En el denominador sacamos factor común \( x \): \( 2x - 5 = x \left( 2 - \frac{5}{x} \right) \).

Paso 3: Cancelación del factor x y cálculo final

Reescribimos la fracción y cancelamos \( x \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{x \sqrt{9 + \dfrac{4}{x}}}{x \left( 2 - \dfrac{5}{x} \right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9 + \dfrac{4}{x}}}{2 - \dfrac{5}{x}} = \frac{\sqrt{9 + 0}}{2 - 0} = \frac{3}{2}

Conclusión: El límite de la función irracional es \( \frac{3}{2} \).

Ejemplo 3: Grados desiguales entre numerador y denominador

Enunciado: Comparar los comportamientos asintóticos calculando razonadamente los dos límites siguientes:

\text{a) } \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 1}{x^4 + 3} \qquad\qquad \text{b) } \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 + 1}{7x - 4}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el caso en que el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador dividiendo por la máxima potencia. A continuación analizaremos el caso inverso en que el grado del numerador supera al del denominador. Para terminar enunciaremos la regla general de los grados para funciones racionales en el infinito.

Paso 1: Grado del numerador menor que el del denominador (apartado a)

En la fracción \( \dfrac{5x^2 - 1}{x^4 + 3} \), el grado del numerador (2) es menor que el del denominador (4). Al dividir entre la máxima potencia \( x^4 \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{5}{x^2} - \dfrac{1}{x^4}}{1 + \dfrac{3}{x^4}} = \frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0

Paso 2: Grado del numerador mayor que el del denominador (apartado b)

En la fracción \( \dfrac{2x^3 + 1}{7x - 4} \), el grado del numerador (3) supera al del denominador (1). Al dividir entre \( x \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + \dfrac{1}{x}}{7 - \dfrac{4}{x}} = \frac{2(+\infty)^2 + 0}{7 - 0} = \frac{+\infty}{7} = +\infty

Paso 3: Conclusión general del teorema de grados

Conclusión: Para un cociente de polinomios \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) en \( x \to \pm\infty \): si \( \text{grado}(P) < \text{grado}(Q) \), el límite es siempre \( 0 \); si los grados son iguales, es el cociente de coeficientes principales; y si \( \text{grado}(P) > \text{grado}(Q) \), diverge a \( \pm\infty \) según los signos.