Infinitésimos equivalentes

1. Tabla de Infinitésimos Equivalentes cuando \( u(x) \to 0 \)

Una función \( u(x) \) es un infinitésimo en \( x = c \) si \( \lim_{x \to c} u(x) = 0 \). Dos infinitésimos \( u \) y \( v \) son equivalentes (\( u \sim v \)) si \( \lim \frac{u}{v} = 1 \). En productos y cocientes, se puede sustituir cualquier infinitésimo por su equivalente:

Trigonométricos: \( \sin u \sim u \), \( \tan u \sim u \), \( \arcsin u \sim u \), \( \arctan u \sim u \), y \( 1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2} \).

Exponenciales y Logarítmicos: \( e^u - 1 \sim u \), \( a^u - 1 \sim u \ln a \), y \( \ln(1 + u) \sim u \).

Regla Crítica: Está permitido sustituir infinitésimos en factores de productos y cocientes globales. Nunca sustituir en sumas o restas si se anulan los términos principales.

📌 Ejemplo Concreto: Aplicación Sistemática de Infinitésimos Equivalentes

Enunciado: Calcular de forma analítica el siguiente límite en el origen aplicando equivalencias de infinitésimos:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) \cdot (e^{3x} - 1)}{x \cdot \ln(1 + 4x)}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que todos los argumentos de las funciones trascendentes tienden a cero en el punto considerado. A continuación sustituiremos cada factor por su infinitésimo polinómico equivalente. Para terminar simplificaremos las potencias de x resultantes y calcularemos el valor numérico del límite.

Paso 1: Verificación de la condición de infinitésimo

Comprobamos que cuando \( x \to 0 \), todos los argumentos tienden a cero: \( 2x \to 0 \), \( 3x \to 0 \) y \( 4x \to 0 \). Se produce la indeterminación \( [\frac{0}{0}] \).

Paso 2: Sustitución de los factores equivalentes

Puesto que todos los infinitésimos intervienen multiplicando o dividiendo toda la expresión, sustituimos según las equivalencias canónicas:

\sin(2x) \sim 2x, \qquad e^{3x} - 1 \sim 3x, \qquad \ln(1 + 4x) \sim 4x

Reemplazando en el límite:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) \cdot (e^{3x} - 1)}{x \cdot \ln(1 + 4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(2x) \cdot (3x)}{x \cdot (4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{6x^2}{4x^2}

Paso 3: Cancelación algebraica y conclusión

Cancelamos el factor común \( x^2 \neq 0 \) y simplificamos la fracción:

\lim_{x \to 0} \frac{6x^2}{4x^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Conclusión: El límite existe y su valor exacto es \( \frac{3}{2} \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Cociente trigonométrico mediante equivalencias lineales

Enunciado: Calcular de forma justificada el siguiente límite indeterminado en el origen aplicando infinitésimos equivalentes:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(5x)}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que los argumentos trigonométricos tienden a cero y generan una indeterminación cero entre cero. A continuación sustituiremos el seno y la tangente por sus infinitésimos equivalentes lineales justificando su validez en productos y cocientes. Para terminar simplificaremos la variable x y concluiremos el resultado.

Paso 1: Verificación de la condición de infinitésimo

Comprobamos que al tender \( x \to 0 \), tanto el argumento del seno (\( 3x \to 0 \)) como el de la tangente (\( 5x \to 0 \)) tienden a cero, generándose la indeterminación \( [\frac{0}{0}] \). Recordamos los infinitésimos trigonométricos fundamentales para \( u \to 0 \): \( \sin u \sim u \) y \( \tan u \sim u \).

Paso 2: Sustitución de los factores equivalentes

Dado que ambos infinitésimos se encuentran multiplicando o dividiendo la expresión completa, sustituimos:

\sin(3x) \sim 3x \qquad \text{y} \qquad \tan(5x) \sim 5x \implies \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x}

Paso 3: Simplificación de la variable y conclusión

Simplificamos la variable \( x \) para \( x \neq 0 \):

\lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}

Conclusión: El límite del cociente trigonométrico es \( \frac{3}{5} \).

Ejemplo 2: Combinación de infinitésimo cuadrático del coseno y exponencial

Enunciado: Resolver paso a paso el siguiente límite en el origen:

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x (e^x - 1)}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los infinitésimos involucrados reconociendo la indeterminación cero entre cero. A continuación sustituiremos simultáneamente el infinitésimo cuadrático del coseno en el numerador y el lineal de la exponencial en el denominador. Para terminar cancelaremos el factor x al cuadrado y calcularemos el valor exacto del límite.

Paso 1: Identificación de los infinitésimos canónicos

Al sustituir \( x = 0 \), observamos la indeterminación \( \frac{1 - 1}{0 \cdot (1 - 1)} = [\frac{0}{0}] \). Aplicamos las tablas de infinitésimos equivalentes cuando \( x \to 0 \): \( 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \) y \( e^x - 1 \sim x \).

Paso 2: Sustitución algebraica en numerador y denominador

Sustituimos simultáneamente ambos infinitésimos en la fracción:

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x (e^x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{x^2}{2}}{x \cdot x} = \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{1}{2} x^2}{x^2}

Paso 3: Cancelación y conclusión

Cancelamos el factor común \( x^2 \) en el numerador y el denominador:

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Conclusión: El valor del límite es exactamente \( \frac{1}{2} \).

Ejemplo 3: Infinitésimo logarítmico compuesto y arco trigonométrico

Enunciado: Determinar el valor del límite:

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{\arcsin(2x)}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que las funciones interiores tienden a cero en el origen para poder aplicar las fórmulas de infinitésimos. A continuación sustituiremos el logaritmo compuesto y el arcoseno por sus expresiones lineales correspondientes. Para terminar simplificaremos la fracción algebraica y determinaremos el resultado final.

Paso 1: Verificación de hipótesis de equivalencia

Comprobamos que las funciones interiores tienden a cero cuando \( x \to 0 \): \( 4x \to 0 \) y \( 2x \to 0 \). Aplicamos las equivalencias generales para \( u \to 0 \): \( \ln(1 + u) \sim u \) y \( \arcsin(u) \sim u \).

Paso 2: Aplicación con argumentos compuestos

Particularizando para los argumentos del problema: \( \ln(1 + 4x) \sim 4x \) y \( \arcsin(2x) \sim 2x \). Reemplazando en el límite:

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{\arcsin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x}

Paso 3: Simplificación final y conclusión

Dividiendo numerador y denominador entre \( x \):

\lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x} = \frac{4}{2} = 2

Conclusión: El límite es \( 2 \).