Indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito sin L'Hôpital

1. Fórmula del Número \( e \)

La indeterminación del tipo \( [1^\infty] \) se deriva de la definición del número \( e \): \( \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e \). Para cualquier función potencial-exponencial donde la base tiende a 1 y el exponente a infinito:

\[ \lim [f(x)]^{g(x)} = [1^\infty] = e^{\lim g(x) \cdot [f(x) - 1]} \]

Identificación: Comprobar por separado que \( \lim f(x) = 1 \) y \( \lim g(x) = \pm\infty \).

Resta de la Base: Calcular \( f(x) - 1 \) reduciendo a común denominador de forma rigurosa.

Producto por el Exponente: Multiplicar \( g(x) \cdot [f(x) - 1] \), simplificar y calcular su límite \( L \). El resultado final es \( e^L \).

📌 Ejemplo Concreto: Aplicación de la Fórmula Canónica del Número e

Enunciado: Determinar mediante la fórmula del número e el siguiente límite en el infinito:

\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 3}{x - 1} \right)^{2x}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que la base tiende a uno y el exponente a infinito para confirmar la indeterminación tipo número e. A continuación calcularemos la resta de la base menos uno reduciendo a común denominador. Para terminar multiplicaremos por el exponente, calcularemos el límite del producto y elevaremos el número e a dicho valor.

Paso 1: Comprobación de la indeterminación uno elevado a infinito

Calculamos los límites de la base y del exponente:

Base: \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{x-1} = 1 \).
Exponente: \( \lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty \).

Estamos ante la forma \( [1^\infty] \). Aplicamos la fórmula: \( \lim [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim g(x)[f(x) - 1]} \).

Paso 2: Resta fraccionaria y producto por el exponente

Efectuamos la resta fraccionaria dentro del exponente:

f(x) - 1 = \frac{x + 3}{x - 1} - 1 = \frac{(x + 3) - (x - 1)}{x - 1} = \frac{x + 3 - x + 1}{x - 1} = \frac{4}{x - 1}

Multiplicamos por el exponente \( g(x) = 2x \):

g(x)[f(x) - 1] = 2x \cdot \frac{4}{x - 1} = \frac{8x}{x - 1}

Paso 3: Cálculo del límite del exponente y conclusión

Evaluamos el límite de la fracción racional obtenida:

\lim_{x \to +\infty} \frac{8x}{x - 1} = 8 \implies \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 3}{x - 1} \right)^{2x} = e^8

Conclusión: El límite de la función potencial-exponencial es exactamente \( e^8 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Fórmula exponencial del número e para funciones racionales

Enunciado: Calcular razonadamente el límite de la siguiente función potencial-exponencial en el infinito:

\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x+3}{x-1} \right)^{2x}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar de forma independiente el límite de la base y del exponente para verificar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación desarrollaremos algebraicamente la resta de la base menos uno y la multiplicaremos por el exponente. Para terminar calcularemos el límite del exponente resultante y elevaremos la base e a dicho valor.

Paso 1: Identificación de la indeterminación uno elevado a infinito

Base: \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{x-1} = 1 \). Exponente: \( \lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty \). Se produce la indeterminación \( [1^\infty] \). Aplicamos la fórmula: \( \lim [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim g(x) \cdot [f(x) - 1]} \).

Paso 2: Desarrollo algebraico de la expresión del exponente

Calculamos la diferencia \( f(x) - 1 \) reduciendo a común denominador:

f(x) - 1 = \frac{x+3}{x-1} - 1 = \frac{4}{x-1} \implies g(x) \cdot [f(x) - 1] = 2x \cdot \frac{4}{x-1} = \frac{8x}{x-1}

Paso 3: Cálculo del límite del exponente y resultado final

Evaluamos el límite de la fracción racional obtenida:

\lim_{x \to +\infty} \frac{8x}{x-1} = 8 \implies \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x+3}{x-1} \right)^{2x} = e^8

Conclusión: El límite de la función potencial-exponencial es \( e^8 \).

Ejemplo 2: Término fraccionario negativo en la base

Enunciado: Determinar el valor exacto del límite:

\lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{2}{x} \right)^x

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la forma indeterminada uno elevado a infinito comprobando las tendencias de la base y del exponente. A continuación aplicaremos la fórmula general del número e calculando el producto del exponente por la base menos uno. Para terminar evaluaremos el límite del exponente y formularemos la conclusión en forma de potencia de e.

Paso 1: Comprobación de la indeterminación tipo número e

Base: \( \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{2}{x}) = 1 \). Exponente: \( \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \). Tenemos la forma indeterminada \( [1^{+\infty}] \).

Paso 2: Aplicación del producto de la fórmula canónica

Planteamos el producto de la fórmula:

g(x) \cdot [f(x) - 1] = x \left( \left(1 - \frac{2}{x}\right) - 1 \right) = x \left( -\frac{2}{x} \right) = -2

Paso 3: Evaluación y conclusión

Calculamos el límite del exponente:

\lim_{x \to +\infty} (-2) = -2 \implies \lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{2}{x} \right)^x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}

Conclusión: El límite es la constante \( \frac{1}{e^2} \).

Ejemplo 3: Indeterminación uno elevado a infinito en un punto finito

Enunciado: Resolver de forma analítica el siguiente límite cuando \( x \) tiende al punto finito \( x = 0 \):

\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que en el punto cero se produce la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos la fórmula canónica multiplicando el exponente uno entre x por la base menos uno. Para terminar simplificaremos la fracción algebraica y hallaremos el resultado final.

Paso 1: Verificación de la forma indeterminada en el origen

Al sustituir \( x = 0 \): Base: \( 1 + 3(0) = 1 \). Exponente: \( \frac{1}{0} = \infty \). Se genera la forma \( [1^\infty] \).

Paso 2: Construcción del exponente general

Aplicamos la regla general con \( f(x) = 1 + 3x \) y \( g(x) = \frac{1}{x} \):

g(x) \cdot [f(x) - 1] = \frac{1}{x} \cdot ((1 + 3x) - 1) = \frac{1}{x} \cdot 3x = \frac{3x}{x}

Paso 3: Cancelación y resultado final

Simplificamos la variable \( x \) para \( x \neq 0 \):

\lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 = 3 \implies \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = e^3

Conclusión: El límite en el punto finito es \( e^3 \).