Indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito, infinito elevado a 0 o 0 elevado a 0

1. Método Universal de Transformación Logarítmica

Las tres indeterminaciones potencial-exponenciales \( [1^\infty] \), \( [\infty^0] \) y \( [0^0] \) se resuelven de forma universal mediante la técnica de linealización por logaritmos neperianos:

Linealización: Si \( L = \lim [f(x)]^{g(x)} \), aplicamos logaritmos: \( \ln L = \lim \ln([f(x)]^{g(x)}) = \lim [g(x) \cdot \ln(f(x))] \).

Resolución por L'Hôpital: El producto \( [0 \cdot \infty] \) se transforma a cociente dividiendo por el recíproco y se aplica la regla de L'Hôpital para calcular \( \ln L \).

Despeje Exponencial: Una vez obtenido el valor \( k = \ln L \), se recupera el límite original mediante la función exponencial inversa: \( L = e^k \).

📌 Ejemplo Concreto: Resolución Universal de Indeterminación Cero Elevado a Cero

Enunciado: Calcular mediante transformación logarítmica y regla de L'Hôpital el límite clásico en el origen:

L = \lim_{x \to 0^+} x^x

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación potencial-exponencial cero elevado a cero y tomar logaritmos neperianos en ambos miembros. A continuación transformaremos el producto resultante en un cociente infinito entre infinito para aplicar la regla de L'Hôpital. Para terminar calcularemos el valor de logaritmo de L y despejaremos L aplicando la función exponencial inversa.

Paso 1: Linealización mediante logaritmo neperiano

Al evaluar \( x \to 0^+ \), obtenemos \( [0^0] \). Aplicamos logaritmo neperiano aprovechando su continuidad:

\ln L = \ln\left( \lim_{x \to 0^+} x^x \right) = \lim_{x \to 0^+} \ln(x^x) = \lim_{x \to 0^+} (x \ln x) \quad [0 \cdot (-\infty)]

Paso 2: Transformación a cociente y aplicación de L'Hôpital

Pasamos \( x \) al denominador como \( 1/x \), generando la forma \( [\frac{-\infty}{+\infty}] \):

\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} \stackrel{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

Por tanto, el logaritmo del límite vale: \( \ln L = 0 \).

Paso 3: Recuperación exponencial y conclusión

Despejamos el límite original \( L \):

\ln L = 0 \implies L = e^0 = 1

Conclusión: El límite de \( x^x \) cuando \( x \to 0^+ \) es exactamente igual a \( 1 \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Indeterminación cero elevado a cero resuelta por toma de logaritmos y L'Hôpital

Enunciado: Calcular con rigor analítico el límite fundamental de la función potencial-exponencial en el origen:

L = \lim_{x \to 0^+} x^x

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por clasificar la indeterminación cero elevado a cero y aplicar el operador logaritmo neperiano para bajar el exponente a producto. A continuación transformaremos el producto en un cociente adecuado y resolveremos aplicando la regla de L'Hôpital. Para terminar despejaremos el límite buscado aplicando la función exponencial inversa a ambos miembros.

Paso 1: Fundamento del método de linealización logarítmica

Al sustituir directamente \( x \to 0^+ \), obtenemos \( [0^0] \). Tomamos logaritmo neperiano:

\ln(L) = \ln\left( \lim_{x \to 0^+} x^x \right) = \lim_{x \to 0^+} \ln(x^x) = \lim_{x \to 0^+} (x \ln x)

Paso 2: Transformación en cociente y aplicación de la regla de L'Hôpital

Pasamos \( x \) al denominador y aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} \stackrel{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \implies \ln(L) = 0

Paso 3: Recuperación del límite original por exponencial inversa

Despejamos aplicando la exponencial:

\ln(L) = 0 \implies L = e^0 = 1 \implies \lim_{x \to 0^+} x^x = 1

Conclusión: El límite de \( x^x \) cuando \( x \to 0^+ \) es \( 1 \).

Ejemplo 2: Indeterminación infinito elevado a cero

Enunciado: Determinar analíticamente el valor del límite:

L = \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación infinito elevado a cero y tomar logaritmos neperianos para convertir la potencia en un cociente. A continuación aplicaremos la regla de L'Hôpital al cociente infinito entre infinito resultante. Para terminar despejaremos el límite original elevando la base e al resultado obtenido.

Paso 1: Aplicación del operador logaritmo neperiano

Al evaluar cuando \( x \to +\infty \): Base \( \to +\infty \), Exponente \( \to \frac{1}{+\infty} = 0 \), configurando \( [\infty^0] \). Tomamos logaritmos:

\ln(L) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left( x^{\frac{1}{x}} \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{x} \ln x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}

Paso 2: Resolución del cociente logarítmico mediante L'Hôpital

Aplicamos L'Hôpital sobre \( [\frac{\infty}{\infty}] \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{+\infty} = 0 \implies \ln(L) = 0

Paso 3: Obtención de la solución final

Despejamos el valor de \( L \):

L = e^0 = 1 \implies \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1

Conclusión: El límite es igual a \( 1 \).

Ejemplo 3: Indeterminación uno elevado a infinito resuelta por el método logarítmico

Enunciado: Resolver mediante transformación logarítmica y regla de L'Hôpital el límite trigonométrico:

L = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la forma indeterminada uno elevado a infinito y aplicar el logaritmo neperiano para linealizar la expresión trigonométrica. A continuación aplicaremos la regla de L'Hôpital e infinitésimos equivalentes al cociente cero entre cero resultante. Para terminar despejaremos el límite buscado y racionalizaremos la expresión con potencias de e.

Paso 1: Linealización de la potencia trigonométrica

Sustituyendo \( x = 0 \): \( \cos(0) = 1 \), \( \frac{1}{0^2} = +\infty \implies [1^{+\infty}] \). Tomamos logaritmos neperianos:

\ln(L) = \lim_{x \to 0} \ln\left( (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} \quad \left[\frac{0}{0}\right]

Paso 2: Aplicación de la regla de L'Hôpital y simplificación

Derivamos independientemente numerador y denominador:

(\ln(\cos x))' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x, \qquad (x^2)' = 2x

Aplicamos la equivalencia \( \tan x \sim x \):

\lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2x} = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \implies \ln(L) = -\frac{1}{2}

Paso 3: Despeje y expresión racionalizada

Despejamos el límite original \( L \):

L = e^{-1/2} = \frac{1}{e^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{\sqrt{e}}{e}

Conclusión: El límite de la función es \( \frac{1}{\sqrt{e}} \).