Asíntotas verticales - Matemáticas II

1. Definición y Detección de Asíntotas Verticales

La recta vertical \( x = a \) es una asíntota vertical (AV) de la función \( y = f(x) \) si al menos uno de sus límites laterales en \( x = a \) es infinito:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \text{o} \qquad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \]

Candidatos naturales: Puntos fuera del dominio: ceros del denominador en racionales, extremos de intervalos de definición en logaritmos o raíces.

Posición relativa de la curva: Se calculan los signos de \( f(a - \varepsilon) \) y \( f(a + \varepsilon) \) para determinar si la rama sube a \( +\infty \) o desciende a \( -\infty \).

📌 Ejemplo Concreto de Asíntota Vertical:

Hallemos las asíntotas verticales de la función racional \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} \):

Los candidatos son los ceros del denominador: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). Evaluamos los límites laterales:

\lim_{x \to 3^-} \frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{7}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 3^+} \frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{7}{0^+} = +\infty

Al ser ambos laterales infinitos, la recta \(x = 3\) es una asíntota vertical bilateral.

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Función racional con dos asíntotas verticales

\( f(x) = \frac{1}{x^2-1} \implies x = 1 \) y \( x = -1 \) son AV.

En \( x=1 \): \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \).

Ejemplo 2: Cancelación de factor común (discontinuidad evitable)

\( f(x) = \frac{x-2}{x^2-4} = \frac{1}{x+2} \) para \( x \neq 2 \). En \( x = 2 \) hay discontinuidad evitable (límite finito \( 1/4 \)), y en \( x = -2 \) hay asíntota vertical.

Ejemplo 3: Función logarítmica

\( f(x) = \ln(x-3) \). Dom: \( (3, +\infty) \). \( \lim_{x \to 3^+} \ln(x-3) = -\infty \implies x = 3 \) es AV por la derecha.