Ejercicios · 1.2 Monotonía, extremos locales y concavidad
3 ejercicios resueltos paso a paso.
1.2 Monotonía, extremos locales y concavidad
1.
Comprueba que el polinomio \( p(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1 \) tiene un máximo y un mínimo locales, y demuestra que su punto de inflexión es el punto medio del segmento que une estos dos puntos.
empezaremos por calcular la primera derivada y resolver la ecuación \( p''(x) = 0 \) para hallar los puntos críticos. A continuación aplicaremos el criterio de la segunda derivada para clasificar dichos puntos como máximo y mínimo locales. Después calcularemos la segunda derivada para localizar el punto de inflexión y, para terminar, comprobaremos algebraicamente que sus coordenadas son la media aritmética de las coordenadas de los dos extremos, para lo cual trasladaremos la función y así revelaremos su simetría respecto del punto de inflexión.
Estudia el crecimiento de la función \( f(x) = 2x - \ln x - 4 \) y deduce que la ecuación \( f(x) = 0 \) tiene una única solución entre \( 1 \) y \( 3 \)
Calcúlala y averigua si existen otras soluciones, determinándolas en su caso.
empezaremos por calcular la derivada y estudiar su signo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. A continuación evaluaremos la función en los extremos del intervalo \([1, 3] \) y aplicaremos el teorema de Bolzano, combinado con la monotonía estricta, para deducir la existencia y la unicidad de la solución en ese intervalo. Después aproximaremos dicha solución mediante el método de bisección y, para terminar, analizaremos el resto del dominio para localizar o descartar la existencia de otras soluciones.
Para cada parámetro \(\mu \in \mathbb{R}\) se considera la función \( f_\mu(x) = x^3 - 3x + \mu \)
Estudia el número de ceros en función de \(\mu \) hállalos cuando \(\mu = 1 \) e indica para qué valores de \(\mu \) puede garantizarse la existencia de ceros de \( f_\mu(x) \) en el intervalo \([0, 1]\)
empezaremos por derivar la función y localizar sus extremos locales, cuyos valores dependen del parámetro y deciden cuántas veces la gráfica corta al eje de abscisas. A continuación discutiremos el número de ceros según el signo de esos valores extremos, distinguiendo los casos en que son positivos, negativos o nulos. Después particularizaremos a \(\mu = 1 \) y localizaremos sus tres ceros mediante el teorema de Bolzano y el método de bisección, y para terminar aplicaremos el teorema de Bolzano en el intervalo \([0, 1] \) para determinar los valores de \(\mu \) que garantizan un cero en él.