Ejercicios · 2.3 Integración por cambio de variable
6 ejercicios resueltos paso a paso.
2.3 Integración por cambio de variable
1.
\(\displaystyle\int\frac{e^x}{3+e^x}\, dx \)
Propondremos como nueva variable el denominador, cuya derivada aparece exactamente en el numerador. Tras diferenciar el cambio y sustituir obtendremos una integral inmediata del tipo logaritmo, y desharemos el cambio al final.
Propondremos como nueva variable el radicando, cuya derivada aparece en el numerador salvo una constante. Tras diferenciar el cambio y ajustar esa constante obtendremos una integral de una potencia, inmediata de resolver, y desharemos el cambio al final.
Propondremos como nueva variable el argumento del seno, cuya derivada aparece en el integrando salvo el signo. Tras diferenciar el cambio y sustituir obtendremos una integral trigonométrica inmediata, y desharemos el cambio al final.
Empezaremos con el cambio \( t = e^x \), que deja una raíz del tipo \(\sqrt{1+t^2} \). A continuación aplicaremos el cambio trigonométrico \( t = \tan z \), que elimina la raíz y conduce a la integral de la secante. Calcularemos esta última multiplicando por una fracción unidad cuya derivada aparece en el numerador, y desharemos los dos cambios al final.
Propondremos como nueva variable el logaritmo, cuya derivada dividida por \( x \) aparece en el integrando. Tras diferenciar el cambio y sustituir obtendremos una integral de una potencia, inmediata de resolver, y desharemos el cambio al final.
Propondremos como nueva variable el coseno, cuya derivada salvo el signo es el seno del numerador. Tras diferenciar el cambio y ajustar el signo obtendremos una integral de una potencia, inmediata de resolver, y desharemos el cambio al final.