Ejercicios · 2.4 Integración de funciones racionales
6 ejercicios resueltos paso a paso.
2.4 Integración de funciones racionales
1.
\(\displaystyle\int\frac{2x+5}{x^2-5x+6}\, dx \)
El grado del numerador es menor que el del denominador, así que empezaremos factorizando el denominador en factores lineales distintos. A continuación descompondremos la fracción en fracciones simples, hallaremos los coeficientes igualando numeradores y sumaremos los logaritmos resultantes con una única constante de integración.
El grado del numerador es menor que el del denominador, así que empezaremos factorizando el denominador en factores lineales distintos. A continuación descompondremos en fracciones simples, hallaremos los coeficientes igualando numeradores e integraremos cada sumando.
Como el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, empezaremos efectuando la división euclídea de polinomios para separar la parte polinómica del resto propio. A continuación integraremos el cociente, que es polinómico e inmediato, y el resto, que dará un logaritmo.
El grado del numerador es menor que el del denominador y este ya está factorizado, con una raíz doble. Descompondremos en fracciones simples con tres sumandos, correspondientes a las potencias uno y dos del factor repetido y al factor simple. Hallaremos los coeficientes igualando numeradores e integraremos cada fracción simple.
Comprobaremos que el denominador es irreducible sobre los reales y descompondremos el numerador como combinación de la derivada del denominador y una constante. El primer trozo dará un logaritmo neperiano y
el segundo, tras completar cuadrados, una arcotangente.
El denominador es un cuadrado perfecto, es decir, presenta una raíz doble. Descompondremos en fracciones simples con dos sumandos, hallaremos los coeficientes igualando numeradores e integraremos: un logaritmo y una potencia.