Ejercicios · 2.6 Integral definida y teorema fundamental del cálculo
4 ejercicios resueltos paso a paso.
2.6 Integral definida y teorema fundamental del cálculo
1.
\( f(x)=\displaystyle\int_x^0 e^{t^2}\, dt \) determina el valor de \( f'(3) \)
Empezaremos reescribiendo la función con el límite inferior fijo usando el convenio de intercambio de límites. A continuación aplicaremos el teorema fundamental del cálculo, que identifica la derivada de la función integral con el integrando evaluado en el límite superior, y evaluaremos en \( x = 3 \)
Empezaremos linealizando el integrando con las fórmulas del ángulo doble hasta dejar una suma de cosenos de múltiplos de \( x \). A continuación hallaremos una primitiva de cada sumando y aplicaremos la regla de Barrow evaluando entre \( 0 \) e \(\pi \)
Se trata del producto de un logaritmo por una potencia, así que aplicaremos la integración por partes definida, eligiendo como \( u \) el logaritmo por tener prioridad. Después evaluaremos el término de frontera y la nueva integral definida con la regla de Barrow.
Efectuaremos el cambio de variable \( t = \ln x \), transformando también los límites de integración para no tener que deshacer el cambio. La integral resultante se resolverá por partes y se evaluará con la regla de Barrow.