Ejercicios · 2.8 Aplicaciones: volúmenes de revolución
7 ejercicios resueltos paso a paso.
2.8 Aplicaciones: volúmenes de revolución
1.
\( f(x)=-x^2+4 \) y \( g(x)=3x^2 \). Considera la región plana limitada por las gráficas de \( f \) y de \( g \) Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar esta región alrededor del eje de abscisas.
Empezaremos hallando los puntos de corte de las dos parábolas para fijar los límites de integración. Comprobaremos que ambas funciones son no negativas en el intervalo y cuál está por encima, para identificar el radio exterior y el interior de cada arandela. Después aplicaremos la fórmula del volumen por arandelas y calcularemos la integral con la regla de Barrow.
\( f(x)=-x^2+4 \) y \( g(x)=3x^2 \). Considera la región plana limitada por las gráficas de \( f \) y de \( g \) Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar esta región alrededor del eje de ordenadas.
Al girar alrededor del eje de ordenadas usaremos el método de las capas cilíndricas, que trabaja directamente con las funciones dadas. Como la región es simétrica respecto del eje \( OY \), las franjas en \( x \) e \(-x \) generan la misma capa, así que integraremos en \([0, 1] \). Hallaremos primero los cortes, plantearemos la integral de las capas y la calcularemos con la regla de Barrow.
\( y=\cos x \) con \( 0\le x\le \pi/2 \), y los ejes de coordenadas. Calcula el volumen engendrado por la región delimitada al girar alrededor del eje de abscisas.
La región está bajo la gráfica del coseno, que es no negativa en \([0, \pi/2] \), y sobre el eje de abscisas. Aplicaremos el método de los discos, integrando el cuadrado de la función, y calcularemos la integral rebajando el grado con el ángulo doble y usando la regla de Barrow.
\( y=\cos x \) con \( 0\le x\le \pi/2 \), y los ejes de coordenadas. Calcula el volumen engendrado por la región delimitada al girar alrededor del eje de ordenadas.
Al girar alrededor del eje de ordenadas usaremos el método de las capas cilíndricas, que trabaja directamente con la función dada sin necesidad de despejar \( x \). Verificaremos primero que se cumplen las hipótesis y después calcularemos la integral, que resolveremos por partes, con la regla de Barrow.
\( y^2=8x \) y la recta \( x=2 \). Calcula el volumen generado al hacer girar el área limitada por la parábola y la recta alrededor del eje \( y=0 \)
La parábola \( y^2 = 8x \) equivale a las dos ramas \( y = \pm\sqrt{8x} \), con \( x \) entre 0 e
2. Al girar alrededor del eje de abscisas cada sección es un disco de radio \(\sqrt{8x} \). Aplicaremos el método de los discos y calcularemos la integral con la regla de Barrow.
\( y^2=8x \) y la recta \( x=2 \). Calcula el volumen generado al hacer girar el área limitada por la parábola y la recta alrededor del eje \( x=0 \)
Al girar alrededor del eje de ordenadas usaremos el método de las capas cilíndricas: cada franja vertical de la región, de altura la distancia entre las dos ramas de la parábola, genera una capa de radio \( x \). Plantearemos la integral y la calcularemos con la regla de Barrow.
\( x^2+y^2=4 \). Calcula el volumen del toro generado por la rotación de la circunferencia alrededor de la recta \( x=3 \)
Al girar el disco de radio 2 alrededor de la recta vertical \( x = 3 \), cada sección horizontal es una arandela: la franja a altura \( y \), al girar, barre la corona entre la distancia mínima y la máxima al eje. Hallaremos esos dos radios despejando \( x \) de la circunferencia, plantearemos el volumen por arandelas integrando respecto de \( y \) y calcularemos la integral con la regla de Barrow.