Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia, que es siempre el primer paso del estudio: examinaremos si el término general tiende a cero. Si el límite no es cero, o ni siquiera existe, la serie diverge por el criterio del término general sin necesidad de aplicar ningún otro criterio.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-1}{(\sqrt{2})^n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. La presencia de una potencia geométrica en el denominador hace que el criterio del cociente (d'Alembert) sea el adecuado, pues el cociente de términos consecutivos simplifica la expresión; verificaremos sus hipótesis (términos positivos e existencia del límite) antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4n}{3n-1}\right)^n \)
Empezaremos por observar que el término general contiene una potencia enésima explícita, por lo que el criterio de la raíz (Cauchy) es el adecuado: la raíz enésima simplifica drásticamente la expresión. Verificaremos sus hipótesis (términos no negativos e existencia del límite de la raíz enésima) y compararemos el límite con uno.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2n+1}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia, que es siempre el primer paso: calcularemos el límite del término general. Si no es cero, la serie diverge por el criterio del término general sin necesidad de ningún otro criterio.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^n \)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. El término general contiene una potencia enésima explícita, por lo que el criterio de la raíz (Cauchy) es el adecuado: la raíz enésima simplifica la expresión; verificaremos sus hipótesis antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia: veremos que el término general ni siquiera tiende a cero, lo que ya decide la divergencia por el criterio del término general. Para confirmarlo con más detalle, aplicaremos también el criterio del cociente, cuyas hipótesis (términos positivos e existencia del límite) se verifican fácilmente.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. La presencia de una potencia geométrica en el denominador frente a un polinomio en el numerador hace que el criterio del cociente (d'Alembert) sea el adecuado, pues el cociente simplifica la expresión; verificaremos sus hipótesis antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. Como el numerador e el denominador son polinomios, el término general se comporta asintóticamente como \( 1/n \); por ello aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con la serie armónica, que diverge, verificando antes sus hipótesis (términos positivos e existencia del límite del cociente).
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n! }{n^n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. La presencia de un factorial hace que el criterio del cociente (d'Alembert) sea el adecuado, pues el cociente simplifica drásticamente los factoriales; verificaremos sus hipótesis (términos positivos e existencia del límite) antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{n+2}}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. El término general se comporta asintóticamente como una constante por \( 1/\sqrt{n} \); por ello aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con la serie p de exponente \( 1/2 \), que diverge, verificando antes sus hipótesis.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{2n+1}{3n-1}\right)^n \)
es una serie de signo alternado. Empezaremos estudiando la convergencia absoluta, pues si la serie de valores absolutos converge, el teorema de convergencia absoluta garantiza la convergencia de la serie. Como el término general contiene una potencia enésima explícita, aplicaremos el criterio de la raíz a la serie de valores absolutos, verificando antes sus hipótesis.