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Ejercicios · 5.5 Regla de la cadena, matriz jacobiana y función implícita
11 ejercicios resueltos paso a paso.
5.5 Regla de la cadena, matriz jacobiana y función implícita
1.
Calcula la matriz jacobiana, es decir, la matriz de las derivadas parciales, de la aplicación \( f: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \), \((x, y)\mapsto(y, x) \)
empezaremos por identificar las componentes de la aplicación, \( f_1(x, y)=y \) y \( f_2(x, y)=x \). A continuación calcularemos las cuatro derivadas parciales, derivando cada componente respecto de cada variable y tratando la otra como constante. Para terminar, las colocaremos en la matriz jacobiana de \( 2\times 2 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de la componente \( f_i \)
Calcula la matriz jacobiana de la aplicación \( f: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 \), \((x, y)\mapsto(xe^y+\cos y, x, x+e^y) \)
empezaremos por identificar las tres componentes \( f_1 \), \( f_2 \) y \( f_3 \). A continuación derivaremos cada componente respecto de \( x \) y respecto de \( y \), tratando la otra variable como constante. Para terminar, colocaremos las seis derivadas en la matriz jacobiana de \( 3\times 2 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de \( f_i \)
Calcula la matriz jacobiana de la aplicación \( f: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \), \((x, y, z)\mapsto(x^2+y+z, x-y+z^2, x^2+y^2+z^2) \)
empezaremos por identificar las tres componentes \( f_1 \), \( f_2 \) y \( f_3 \). A continuación derivaremos cada componente respecto de \( x \), \( y \) y \( z \), tratando las otras dos variables como constantes. Para terminar, colocaremos las nueve derivadas en la matriz jacobiana de \( 3\times 3 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de \( f_i \)
Calcula la matriz jacobiana de la aplicación \( f: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \), \((x, y, z)\mapsto(x^2-y^3+2z, x-2y+z^4) \)
empezaremos por identificar las dos componentes \( f_1 \) y \( f_2 \). A continuación derivaremos cada componente respecto de \( x \), \( y \) y \( z \), tratando las otras dos variables como constantes. Para terminar, colocaremos las seis derivadas en la matriz jacobiana de \( 2\times 3 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de \( f_i \)
Aplica la regla de la cadena para calcular \(\dfrac{\partial h}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial h}{\partial y}\), siendo \( h(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) \) con \( f(u, v)=u^2+v^2 \), \( u(x, y)=xy \) \( v(x, y)=x+y \)
empezaremos por escribir la forma general de la regla de la cadena para dos variables intermedias: \(\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \) y la análoga para \( y \). A continuación calcularemos las seis derivadas parciales que intervienen. Para terminar, las combinaremos según la fórmula y expresaremos el resultado en función de \( x \) e \( y \)
Aplica la regla de la cadena para calcular \(\dfrac{\partial h}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial h}{\partial y}\), siendo \( h(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) \) con \( f(u, v)=\dfrac{u^2+v^2}{u^2-v^2}\), \( u(x, y)=-x-y \) \( v(x, y)=xy \)
empezaremos por escribir la forma general de la regla de la cadena para dos variables intermedias. A continuación calcularemos las derivadas parciales de \( f \) con la regla del cociente y las de \( u \) y \( v \), que son inmediatas. Para terminar, combinaremos todas según la fórmula y simplificaremos.
Aplica la regla de la cadena para calcular \(\dfrac{\partial h}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial h}{\partial y}\), siendo \( h(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) \) con \( f(u, v)=\sqrt{u^2+2uv}\), \( u(x, y)=\cos xy \) \( v(x, y)=\operatorname{sen}\, xy \)
empezaremos por escribir la forma general de la regla de la cadena para dos variables intermedias. A continuación calcularemos las derivadas parciales de \( f \) con la regla de la cadena para la raíz cuadrada y las de \( u \) y \( v \), que son inmediatas. Para terminar, combinaremos todas según la fórmula y simplificaremos.
Supón que la curva \( F(x, y)=0 \) define una función \( y(x) \) en un punto \((a, y(a)) \)
Calcula \( y''(a) \) cuando \( F(x, y)=x^2+xy-y^2-x \) en el punto \((1, 0) \)
empezaremos por comprobar que el punto \((1, 0) \) cumple la ecuación y que \( F_y(1, 0)\ne 0 \), que es la hipótesis del teorema de la función implícita. A continuación recordaremos la fórmula de derivación implícita \( y'=-\frac{F_x}{F_y} \), deducida derivando la identidad \( F(x, y(x))=0 \) con la regla de la cadena. Después calcularemos \( F_x \) y \( F_y \) en el punto. Para terminar, aplicaremos la fórmula.
En las mismas condiciones del enunciado anterior, calcula \( y''(a) \) cuando \( F(x, y)=x^2+y^2-1 \) en el punto \((3/5, -4/5) \)
empezaremos por comprobar que el punto \((3/5, -4/5) \) cumple la ecuación y que \( F_y\ne 0 \) en él, que es la hipótesis del teorema de la función implícita. A continuación recordaremos la fórmula de derivación implícita \( y'=-\frac{F_x}{F_y} \). Después calcularemos \( F_x \) y \( F_y \) en el punto. Para terminar, aplicaremos la fórmula.
Encuentra la recta tangente a la curva \( F(x, y)=x^2+xy-y^2-x-2=0 \) en el punto \((-1, 0) \)
empezaremos por comprobar que el punto \((-1, 0) \) pertenece a la curva y que \(\nabla F(-1, 0)\ne(0, 0) \), lo que garantiza que la curva es regular allí. A continuación recordaremos que el gradiente es perpendicular a la curva de nivel, luego la recta tangente es la que pasa por el punto con vector normal \(\nabla F(-1, 0) \), de ecuación \( F_x(x+1)+F_y\, y=0 \). Después calcularemos las derivadas parciales en el punto. Para terminar, escribiremos y simplificaremos la ecuación.
Encuentra la recta tangente a la curva \( F(x, y)=x^2+y^2-1=0 \) en el punto \((3/5, -4/5) \)
empezaremos por comprobar que el punto pertenece a la curva y que \(\nabla F\ne(0, 0) \) en él, lo que garantiza que la curva es regular. A continuación recordaremos que el gradiente es perpendicular a la curva de nivel, luego la recta tangente es la que pasa por el punto con vector normal \(\nabla F \). Después calcularemos las derivadas parciales en el punto. Para terminar, escribiremos y simplificaremos la ecuación.