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Ejercicios · 6.3 Cambio de variables: coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
5 ejercicios resueltos paso a paso.
6.3 Cambio de variables: coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
1.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{\sqrt{1-y^2}} \sqrt{x^2+y^2} \, dxdy \) usando si es necesario coordenadas polares.
empezaremos por describir la región de integración y comprobar que es la mitad derecha del disco unidad, por lo que conviene el cambio a coordenadas polares. A continuación escribiremos el cambio general, calcularemos su jacobiano mostrando el determinante y describiremos la región en polares. Para terminar, sustituiremos y calcularemos la integral iterada.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \int_0^{2} \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} x \, dydx \) usando si es necesario coordenadas polares.
empezaremos por describir la región y comprobar que es la mitad superior del disco de centro (1, 0) y radio 1, lo que sugiere coordenadas polares centradas en el origen. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción polar de la región. Para terminar, sustituiremos e integraremos.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} z^3 \, dzdydx \) usando si es necesario coordenadas esféricas o cilíndricas.
empezaremos por describir el recinto y ver que su proyección es la mitad superior del disco unidad y que z va del cono z igual a raíz de x al cuadrado más y al cuadrado al plano z igual a uno, lo que pide coordenadas cilíndricas. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción del recinto en cilíndricas. Para terminar, sustituiremos e integraremos de dentro hacia fuera.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \int_0^{3} \int_0^{\sqrt{9-y^2}} \int_0^{\sqrt{9-x^2-y^2}} x \, dzdxdy \) usando si es necesario coordenadas esféricas o cilíndricas.
empezaremos por describir el recinto y reconocer que es la porción del primer octante de la bola de radio 3, lo que pide coordenadas esféricas. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción del recinto en esféricas. Para terminar, sustituiremos e integraremos, factorizando la integral triple en tres integrales simples.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \int_0^{2} \int_0^{\sqrt{4-y^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2) \, dzdxdy \) usando si es necesario coordenadas esféricas o cilíndricas.
empezaremos por describir el recinto y ver que está entre el cono z igual a raíz de x al cuadrado más y al cuadrado y la esfera de radio 2, sobre el primer cuadrante del disco, lo que pide coordenadas esféricas. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción del recinto en esféricas. Para terminar, sustituiremos e integraremos, factorizando la integral triple en tres integrales simples.