Ejercicios · Bloque 1: Cálculo diferencial en una variable

Hallar la derivada de \( y=\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc tg}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}\right) \)

Hallar la derivada de \( y=\cos\left(\operatorname{arc tg}\frac{1}{e^{x}+x^{2}}\right) \)

Se considera la función \( f(x)=\begin{cases} (x-1)^{4}\cos^{2}\frac{1}{x-1} & \text{si } x\ne 1 \\ 0 & \text{si } x=1 \end{cases} \). Hallar \( f'(1) \) y \( f''(1) \)

Hallar la derivada tercera de la función \( y=\frac{\operatorname{sen} x}{1+\cos x} \)

Hallar la derivada tercera de la función \( y=e^{\operatorname{arc tg} x} \)

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a \( f(x)=x^{3}-2x^{2}+4 \) en el punto \((2, 4) \)

Dada la función \( f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{si } x<-1 \\ -x & \text{si } -1\le x \end{cases} \), hallar su función derivada.

Se ha construido un depósito cúbico y la medida del lado \( L \) del cubo resulta ser \( 11, 35 \) m con una cota de error estimado de \( 0, 2 \) m. Aplicar el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen \( V \) del depósito.

Con los datos (lado medido \( L=11, 35 \) m), estimar el máximo error en la medida de \( L \) para que el error propagado al calcular el volumen no supere el \( 3\% \)

Hallar la derivada de la función \( y=\frac{2^{x}-1}{e^{x}+1} \)

Hallar la derivada primera de \( f(x)=\operatorname{tg}^{2}(x^{2}) \)

Hallar la derivada primera de \( g(x)=\ln\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) \)

Se desea calcular el área \( A \) de un triángulo cuya altura mide el doble de la base. Si se obtiene un valor de \( 10, 4 \) m al medir la longitud de la base \( b \) con un error máximo de \( 5 \) cm, hallar el máximo error porcentual cometido en el cálculo del área del triángulo.

Con los datos (base medida \( b=10, 4 \) m, altura doble de la base), ¿cuál ha de ser el máximo error porcentual permitido en la medida de la longitud de la base para que el error cometido en el cálculo del área no supere los \( 0, 3 \) m²?

Sean \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \). Hallar \( f'(x) \)

Dadas las funciones \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \), hallar \( g'(x) \)

Con las funciones \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \), hallar \((f\circ g)'(x) \)

Sean \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x^{2}) \) y \( g(x)=\ln(\sqrt{x}) \). Hallar las derivadas \( f'(x) \) y \( g'(x) \)

Con \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x^{2}) \) y \( g(x)=\ln(\sqrt{x}) \), aplicando la regla de la cadena hallar la derivada \((g\circ f)'(x) \)

Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=2^{\operatorname{tg} x} \)

Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}(2x) \)

Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}^{2}x \)

Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}(x^{2}) \)

Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}\left(2^{x}\right) \)

Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\ln\left(\sqrt{\frac{1+\operatorname{tg} x}{-1+\operatorname{tg} x}}\right) \)

Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\left(\frac{x+1}{x}\right)^{1/x} \)

Un balón se infla de tal forma que su volumen crece a razón de \( 100 \) cm³/s. Hallar la variación del radio cuando \( r=10 \) cm.

Se considera la función \( f(x)=\begin{cases} (x-1)^{4}\cos^{2}\frac{1}{x-1} & \text{si } x\ne 1 \\ 0 & \text{si } x=1 \end{cases} \). ¿Existe un mínimo relativo en \( x=1 \)?

¿Cuál es mayor, \( e^{\pi} \) o \(\pi^{e} \)?

Sea \( y=f(x) \) una función cuya gráfica es la que aparece en la página 79 del PDF (pág. 79, ejercicio 25). Indicar si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones:
a) \( f \) es continua en todo \(\mathbb{R} \)
b) \( f \) es derivable en todo \(\mathbb{R} \)
c) \( f \) tiene un mínimo relativo en \( x=b \)
d) \( f \) está acotada inferiormente.
e) \( f \) tiene máximos relativos en \( x=a \) y en \( x=d \)
f) \( f \) está acotada superiormente.
g) \( f \) tiene puntos de inflexión en \( x=a \), \( x=b \) y \( x=d \)
h) \( f \) tiene una asíntota vertical en \( x=c \) y una asíntota horizontal de ecuación \( y=0 \)
i) \( f'(x)=0 \) en \( x=a \) y en \( x=d \)

Demostrar que si \( 0\leq a\leq b \) entonces \(\frac{a}{a+1}\leq\frac{b}{b+1} \)

Hallar los extremos relativos de la función \( y=e^{\cos x} \)

Sea \( f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x-2} & \text{si } x<2 \\[4pt] \dfrac{x^{2}}{x-2} & \text{si } x>2 \end{cases} \). ¿Está \( f \) acotada en \((-\infty, 0] \)? ¿Tiene máximo y mínimo en ese intervalo?

Estudiar la continuidad de la función \( f(x)=\begin{cases} 1+\operatorname{tg}\frac{x}{2} & \text{si } x<0 \\ \cos(x^{2}) & \text{si } 0\le x\le\sqrt{\pi} \\ \ln x & \text{si } x>\sqrt{\pi} \end{cases} \)

Demostrar que el polinomio \( p(x)=x^{3}+x^{2}+x-1 \) tiene una única raíz real positiva.

Demostrar que la ecuación \( e^{x}=x+1 \) no tiene más solución real que \( x=0 \)

Demostrar que si \( x>0 \), entonces \(\frac{1}{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac{1}{x} \)

Demostrar que \( f(x)=4x^{3}+x-3 \) tiene exactamente una solución real de la ecuación \( f(x)=0 \)

Dada la función \( f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{si } x<-1 \\ -x & \text{si } -1\le x \end{cases} \), estudiar su continuidad.

Un vehículo circula a \( 90 \) km/h por el km \( 100 \) de una autopista; diez minutos después está en el km \( 125 \), donde le para la policía y le multa. ¿Por qué?

Razonar si puede aplicarse el teorema de Rolle a la función \( f(x)=\ln(x^{2}) \) en el intervalo \([-1, 1] \)

La función \( f(x)=\sqrt[5]{x^{2}}-1 \) se anula en los extremos del intervalo \([-1, 1] \). Al mismo tiempo es \( f'(x)\ne 0 \). Explicar por qué no se verifica la tesis del teorema en este ejemplo.

Aplicando el teorema del valor medio a la función \( f(x)=\ln x \) en un intervalo adecuado, demostrar que \(\frac{1}{2}<\ln 2<1 \)

Estudiar la continuidad de la función \( f(x)=\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} \)

Dada la función \( f(x)=\begin{cases} -3\operatorname{sen} x & \text{si } x\le -\frac{\pi}{2} \\ A\operatorname{sen} x+B & \text{si } -\frac{\pi}{2}

💡 Pista

Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que cada trozo es continuo en su intervalo abierto. A continuación impondremos la igualdad de los límites laterales en los dos puntos de empalme. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones resultante.

Solución paso a paso → ▶ Vídeo