Ejercicios · 1.1 Derivadas elementales y reglas de derivación
27 ejercicios resueltos paso a paso.
1.1 Derivadas elementales y reglas de derivación
1.
Hallar la derivada de \( y=\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc tg}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la expresión trigonométrica usando una identidad general del seno del arco tangente, que deduciremos. A continuación escribiremos la función simplificada como producto de potencias. Para terminar la derivaremos con las reglas del producto y de la cadena, mostrando todos los pasos.
Hallar la derivada de \( y=\cos\left(\operatorname{arc tg}\frac{1}{e^{x}+x^{2}}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la expresión trigonométrica usando una identidad general del coseno del arco tangente, que deduciremos. A continuación escribiremos la función simplificada como producto de potencias. Para terminar la derivaremos con las reglas del producto y de la cadena, mostrando todos los pasos.
Se considera la función \( f(x)=\begin{cases} (x-1)^{4}\cos^{2}\frac{1}{x-1} & \text{si } x\ne 1 \\ 0 & \text{si } x=1 \end{cases} \). Hallar \( f'(1) \) y \( f''(1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada en \( x=1 \) aplicando directamente la definición de derivada, pues la fórmula general no es válida en el punto de empalme. A continuación obtendremos la expresión de \( f'(x) \) para \( x\ne 1 \) con las reglas de derivación. Para terminar aplicaremos de nuevo la definición de derivada para hallar \( f''(1) \)
Hallar la derivada tercera de la función \( y=\frac{\operatorname{sen} x}{1+\cos x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada primera con la regla del cociente y simplificarla. A continuación derivaremos de nuevo para obtener la derivada segunda. Para terminar derivaremos una tercera vez y simplificaremos el resultado factorizando.
Hallar la derivada tercera de la función \( y=e^{\operatorname{arc tg} x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada primera con la regla de la cadena. A continuación aplicaremos la regla del cociente para obtener la derivada segunda. Para terminar derivaremos una vez más con las reglas del producto y de la cadena.
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a \( f(x)=x^{3}-2x^{2}+4 \) en el punto \((2, 4) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la función y evaluarla en el punto para obtener la pendiente de la tangente. A continuación escribiremos la ecuación de la recta tangente con la fórmula punto-pendiente. Para terminar obtendremos la pendiente de la normal y su ecuación.
Dada la función \( f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{si } x<-1 \\ -x & \text{si } -1\le x \end{cases} \), hallar su función derivada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar cada trozo en su intervalo abierto usando la regla de la potencia. A continuación analizaremos qué ocurre en el punto de empalme. Para terminar escribiremos la función derivada.
Se ha construido un depósito cúbico y la medida del lado \( L \) del cubo resulta ser \( 11, 35 \) m con una cota de error estimado de \( 0, 2 \) m. Aplicar el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen \( V \) del depósito.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el volumen como función del lado y recordar la fórmula de la diferencial. A continuación calcularemos la diferencial del volumen en el valor medido. Para terminar obtendremos el error relativo y lo expresaremos en porcentaje.
Con los datos (lado medido \( L=11, 35 \) m), estimar el máximo error en la medida de \( L \) para que el error propagado al calcular el volumen no supere el \( 3\% \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el error relativo del volumen en función del error del lado usando la diferencial. A continuación impondremos que dicho error relativo no supere el tres por ciento. Para terminar despejaremos la cota pedida.
Hallar la derivada de la función \( y=\frac{2^{x}-1}{e^{x}+1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla del cociente y las derivadas de las exponenciales que intervienen. A continuación aplicaremos la regla identificando numerador y denominador. Para terminar desarrollaremos el numerador resultante.
Hallar la derivada primera de \( f(x)=\operatorname{tg}^{2}(x^{2}) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de la cadena y la derivada de la tangente. A continuación identificaremos la composición de funciones presente. Para terminar aplicaremos la regla paso a paso hasta obtener la derivada.
Hallar la derivada primera de \( g(x)=\ln\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la función usando las propiedades de los logaritmos, que enunciamos. A continuación derivaremos la expresión simplificada término a término. Para terminar operaremos las fracciones resultantes.
Se desea calcular el área \( A \) de un triángulo cuya altura mide el doble de la base. Si se obtiene un valor de \( 10, 4 \) m al medir la longitud de la base \( b \) con un error máximo de \( 5 \) cm, hallar el máximo error porcentual cometido en el cálculo del área del triángulo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el área como función de la base y recordar la fórmula de la diferencial. A continuación calcularemos la diferencial del área con los datos dados. Para terminar hallaremos el error relativo en porcentaje.
Con los datos (base medida \( b=10, 4 \) m, altura doble de la base), ¿cuál ha de ser el máximo error porcentual permitido en la medida de la longitud de la base para que el error cometido en el cálculo del área no supere los \( 0, 3 \) m²?
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la diferencial del área en función del error de la base. A continuación impondremos que dicha diferencial no supere los \( 0, 3 \) m². Para terminar despejaremos el error de la base y lo expresaremos en porcentaje.
Sean \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \). Hallar \( f'(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de derivación del arco tangente. A continuación la aplicaremos directamente a la función dada. Para terminar escribiremos el resultado.
Dadas las funciones \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \), hallar \( g'(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por elevar al cuadrado para eliminar la raíz y derivar implícitamente con la regla de la cadena. A continuación derivaremos el cociente trigonométrico con la regla del cociente. Para terminar despejaremos \( g'(x) \) y simplificaremos.
Con las funciones \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \), hallar \((f\circ g)'(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de la cadena para la derivada de una composición. A continuación calcularemos \( f'(g(x)) \) simplificando \( 1+g(x)^{2} \). Para terminar multiplicaremos por \( g'(x) \) y simplificaremos el resultado.
Sean \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x^{2}) \) y \( g(x)=\ln(\sqrt{x}) \). Hallar las derivadas \( f'(x) \) y \( g'(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar las reglas de derivación del arco tangente y del logaritmo. A continuación aplicaremos la regla de la cadena a cada función. Para terminar simplificaremos los resultados.
Con \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x^{2}) \) y \( g(x)=\ln(\sqrt{x}) \), aplicando la regla de la cadena hallar la derivada \((g\circ f)'(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de la cadena para la derivada de una composición. A continuación calcularemos \( g'(f(x)) \) sustituyendo en la derivada de \( g \). Para terminar multiplicaremos por \( f'(x) \) y simplificaremos.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=2^{\operatorname{tg} x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de la cadena para exponenciales de base constante. A continuación identificaremos el exponente y su derivada. Para terminar aplicaremos la regla y escribiremos el resultado.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}(2x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de la cadena para la tangente. A continuación identificaremos el argumento y su derivada. Para terminar aplicaremos la regla.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}^{2}x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función como un cuadrado para aplicar la regla de la cadena. A continuación derivaremos el cuadrado exterior y la tangente interior. Para terminar multiplicaremos los factores.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}(x^{2}) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de la cadena para la tangente. A continuación identificaremos el argumento y lo derivaremos. Para terminar aplicaremos la regla.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}\left(2^{x}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la regla de la cadena para la tangente y la derivada de la exponencial. A continuación identificaremos el argumento y lo derivaremos. Para terminar aplicaremos la regla.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\ln\left(\sqrt{\frac{1+\operatorname{tg} x}{-1+\operatorname{tg} x}}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la función con las propiedades de los logaritmos, que enunciamos. A continuación derivaremos término a término con la regla del logaritmo y de la cadena. Para terminar sumaremos las fracciones y simplificaremos.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\left(\frac{x+1}{x}\right)^{1/x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar logaritmos neperianos a ambos miembros, lo que convierte el exponente variable en un producto. A continuación derivaremos implícitamente el miembro derecho con las reglas del producto y del cociente. Para terminar despejaremos \( y' \)
Un balón se infla de tal forma que su volumen crece a razón de \( 100 \) cm³/s. Hallar la variación del radio cuando \( r=10 \) cm.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general del volumen de la esfera en función del radio. A continuación derivaremos implícitamente respecto del tiempo para relacionar la variación del volumen con la variación del radio y despejaremos esta última sustituyendo los datos del enunciado.