Ejercicios · 2.7 Aplicaciones: áreas planas
45 ejercicios resueltos paso a paso.
2.7 Aplicaciones: áreas planas
1.
Hallar el área de la región contenida entre las curvas:
\( y_{1}=\frac{1}{x^{2}-1} \), \( y_{2}=\frac{1}{x^{3}+x} \):
a) En el intervalo \([2, 3] \)
\( y_{1}=\frac{1}{x^{2}-1} \), \( y_{2}=\frac{1}{x^{3}+x} \):
a) En el intervalo \([2, 3] \)
2.
Dada la función \( f(x)=2x\sqrt{1-x^{2}} \) se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
3.
Dada la hipérbola \( x^{2}-y^{2}=1 \). Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa positiva.
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa positiva.
4.
Dadas las funciones \( f(x)=\operatorname{sen}(2x) \) y \( g(x)=\operatorname{tg} x \), se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre \(-\pi/2 \) y \(\pi/2 \)
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre \(-\pi/2 \) y \(\pi/2 \)
5.
Dadas las funciones \( f(x)=\operatorname{sen}(2x) \) y \( g(x)=\operatorname{tg} x \), se pide:
a) Hallar los puntos de corte de ambas funciones.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de corte hallados.
a) Hallar los puntos de corte de ambas funciones.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de corte hallados.
6.
Dada la función \( f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
7.
Dada la función \( f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
b) Calcular el área encerrada por \( f(x) \) y el eje \( X \) en el intervalo \([-1, 0] \)
b) Calcular el área encerrada por \( f(x) \) y el eje \( X \) en el intervalo \([-1, 0] \)
8.
Para la función \( f(x)=\left(1+\frac{x^{2}}{5}\right)^{-3} \), determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
9.
Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de lado \( 10 \) m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es \( 12 \) m, calcular la superficie de hierba que puede comer la vaca.
10.
Hallar:
c) Área limitada por la elipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
c) Área limitada por la elipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
11.
b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas:
\( y^{2}=2\left(x+\frac{1}{2}\right) \); \( y^{2}=4(x+1) \); \( y^{2}=6\left(\frac{3}{2}-x\right) \); \( y^{2}=4(1-x) \)
\( y^{2}=2\left(x+\frac{1}{2}\right) \); \( y^{2}=4(x+1) \); \( y^{2}=6\left(\frac{3}{2}-x\right) \); \( y^{2}=4(1-x) \)
12.
c) Hallar el área encerrada entre la función \(\frac{\cos x}{\sqrt{1-\operatorname{sen} x}} \) y el eje \( x \) entre \( 0 \) y \(\pi \)
13.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen} x-x\cos x \). Calcular aproximadamente el valor de:
a) El área encerrada por \( f(x) \) y las rectas \( x=-\pi \), \( x=\pi \) y el eje \( OX \)
a) El área encerrada por \( f(x) \) y las rectas \( x=-\pi \), \( x=\pi \) y el eje \( OX \)
14.
Hallar el área encerrada entre las funciones \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \) y \( g(x)=\frac{1}{x^{3}} \) para \( x\geq 3 \)
15.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \) se pide:
a) Representar la función
a) Representar la función
16.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \) se pide:
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
17.
Determinar las áreas siguientes:
a) Encerrada por la función \( f(x) \) y el eje \( OX \) siendo
\( f(x)=\begin{cases}\dfrac{x-6}{x^{4}+6} & \text{si } -6
a) Encerrada por la función \( f(x) \) y el eje \( OX \) siendo
\( f(x)=\begin{cases}\dfrac{x-6}{x^{4}+6} & \text{si } -6
18.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
19.
Hallar el área limitada por las regiones: \( x^{2}+y^{2}\geq 2x \); \( x^{2}+y^{2}\leq 4x \); \( y\leq x \); \( y\geq 0 \)
20.
a) Hallar el área limitada por las regiones
\( x^{2}+y^{2}\geq 2x \); \( x^{2}+y^{2}\leq 4x \); \( y\leq x \); \( y\geq 0 \)
\( x^{2}+y^{2}\geq 2x \); \( x^{2}+y^{2}\leq 4x \); \( y\leq x \); \( y\geq 0 \)
21.
Hallar el área limitada por la elipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)
22.
Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas: \( y^2=2\left(x+\frac{1}{2}\right) \), \( y^2=4(x+1) \), \( y^2=6\left(\frac{3}{2}-x\right) \) e \( y^2=4(1-x) \)
23.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen}x-x\cos x \). Calcular el área encerrada por \( f \), las rectas \( x=-\pi \) y \( x=\pi \) y el eje \( OX \)
24.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^2+1} \), calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas.
25.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), calcular el área encerrada por \( f \), la recta \( x=-2 \) y el eje OY.
26.
Hallar el área limitada por las regiones \( x^{2}+y^{2}\ge 2x \); \( x^{2}+y^{2}\le 4x \); \( y\le x \); \( y\ge 0 \)
27.
a) Hallar el área interior al círculo \( r=1 \) y exterior a la cardioide \( r=1-\cos\alpha \)
28.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
a) Período de la curva.
a) Período de la curva.
29.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
30.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
a) Período de la curva.
a) Período de la curva.
31.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
32.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), se pide:
a) Período de la curva.
a) Período de la curva.
33.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), se pide:
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
34.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), se pide:
c) Área encerrada por la curva y el eje \( OY \) (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
c) Área encerrada por la curva y el eje \( OY \) (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
35.
Calcular:
b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \)
b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \)
36.
Calcular:
c) El área interior común a la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \) y a \( r^2=5\operatorname{sen}(2\alpha) \)
c) El área interior común a la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \) y a \( r^2=5\operatorname{sen}(2\alpha) \)
37.
Hallar el área sombreada de la figura que es simultáneamente exterior a la curva en polares \( r=2+\cos(3\alpha) \) e interior a \( r=2-\cos(3\alpha) \)
38.
Las ecuaciones paramétricas \(\begin{cases}x=\dfrac{4t}{1+t^3} \\ y=\dfrac{4t^2}{1+t^3}\end{cases} \) describen la curva denominada folium de Descartes, se pide:
a) El intervalo de \( t \) para el que las anteriores ecuaciones describen el lazo.
a) El intervalo de \( t \) para el que las anteriores ecuaciones describen el lazo.
39.
Hallar el área común al círculo \(\rho_1=3\cos\alpha \) y a la cardioide \(\rho_2=1+\cos\alpha \)
40.
Calcular el área encerrada dentro de la curva de ecuaciones paramétricas \( x(t) = 3 + 2\cos t \) y \( y(t) = 2 + 5\operatorname{sen} t \)
41.
Calcular la longitud y el área encerrada por la curva de ecuaciones paramétricas \( x(t) = \frac{\cos t\, (2 - \cos(2t))}{4} \) y \( y(t) = \frac{\operatorname{sen} t\, (2 + \cos(2t))}{4} \)
42.
Para un arco de cicloide de ecuaciones paramétricas \( x(t) = a(t - \operatorname{sen} t) \) e \( y(t) = a(1 - \cos t) \), hallar el área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
43.
Para la cardioide de ecuación \( r = 1 + \cos\alpha \), hallar el área encerrada por la curva.
44.
Sean \( r = 2 \) y \( r^2 = 8\operatorname{sen}(2\alpha) \) las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante.
45.
Hallar el área común a los círculos \( r = 2\cos\alpha \), \( r = 1 \) y \( r = 2\operatorname{sen}\alpha \)