Ejercicios · 2.8 Aplicaciones: volúmenes de revolución

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula del volumen de un sólido de revolución alrededor del eje de abscisas. A continuación la aplicaremos a nuestra función en su dominio. Para terminar calcularemos la integral polinómica resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula de la longitud de un arco de curva. A continuación calcularemos la derivada de la catenaria y simplificaremos el integrando con una identidad hiperbólica. Para terminar integraremos y usaremos la simetría de la curva.

Para resolver este ejercicio empezaremos por deducir la fórmula del volumen de un casquete esférico de altura hache en función del radio erre mayúscula, integrando por discos. A continuación igualaremos ese volumen al veintiuno coma seis por ciento del volumen total de la esfera. Para terminar resolveremos la ecuación cúbica resultante y descartaremos las soluciones no admisibles.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula del volumen por secciones planas paralelas. A continuación determinaremos el área de cada sección cuadrada en función de equis. Para terminar integraremos entre los límites dados.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula del área de una superficie de revolución. A continuación calcularemos la derivada de la rama de la hipérbola y simplificaremos el integrando. Para terminar integraremos con la fórmula de la primitiva correspondiente.

Para hallar el volumen empezaremos por plantearlo con la fórmula del volumen de un sólido de revolución por discos y usar la paridad para reducir la integral a la semirrecta positiva. A continuación aplicaremos el mismo cambio trigonométrico del apartado anterior, justificando su elección, y para terminar calcularemos la integral resultante con la fórmula de Wallis.

Para calcular la longitud empezaremos por parametrizar la elipse y escribir la fórmula general de la longitud de una curva paramétrica. A continuación calcularemos el integrando y lo simplificaremos. Para terminar reduciremos la integral por simetría e identificaremos la integral elíptica resultante, dando su valor numérico.

Para hallar el volumen empezaremos por plantearlo con la fórmula del volumen de un sólido de revolución por discos. A continuación simplificaremos el integrando mediante una división de polinomios, explicando por qué es necesaria. Para terminar integraremos término a término usando la fórmula general de la integral de uno entre uno menos equis al cuadrado y evaluaremos entre los límites dados.

El espejo es la superficie de revolución que genera la parábola al girar alrededor del eje de abscisas. Empezaremos por escribir la fórmula general del área de una superficie de revolución. A continuación calcularemos el factor de la raíz con la derivada de la parábola. Para terminar integraremos entre el vértice y la profundidad del espejo, que es el dato que proporciona la figura del enunciado, y multiplicaremos por el precio del material.

Para calcular la superficie y el volumen empezaremos por describir la esfera como el sólido de revolución generado por una semicircunferencia. A continuación aplicaremos la fórmula general del área de una superficie de revolución. Para terminar aplicaremos la fórmula general del volumen por discos.

Para calcular la superficie y el volumen empezaremos por describir el cilindro recto como el sólido de revolución generado por un segmento horizontal. A continuación aplicaremos la fórmula general del área de una superficie de revolución para obtener la superficie lateral y añadiremos las bases. Para terminar aplicaremos la fórmula general del volumen por discos.

Para calcular la superficie y el volumen empezaremos por describir el cono recto como el sólido de revolución generado por un segmento oblicuo e identificar su generatriz. A continuación aplicaremos la fórmula general del área de una superficie de revolución. Para terminar aplicaremos la fórmula general del volumen por discos.

Para calcular la superficie y el volumen empezaremos por describir el tronco de cono como el sólido de revolución generado por un segmento oblicuo e identificar su generatriz. A continuación aplicaremos la fórmula general del área de una superficie de revolución. Para terminar aplicaremos la fórmula general del volumen por discos y simplificaremos el resultado.

Para calcular el volumen empezaremos por hallar los puntos de corte de las dos curvas y determinar cuál está por encima en el intervalo. A continuación plantearemos el volumen con la fórmula de las arandelas. Para terminar desarrollaremos el integrando, integraremos término a término y evaluaremos.

Para hallar el volumen empezaremos por determinar la región base hallando los cortes de las parábolas y describiendo, para cada abscisa, el segmento vertical que las secciones triangulares tienen como lado. A continuación escribiremos la fórmula del volumen por secciones y el área del triángulo equilátero. Para terminar integraremos en los dos tramos necesarios y sumaremos.

Para calcular la longitud empezaremos por escribir la fórmula general de la longitud de una curva explícita y usar la simetría de la cisoide para reducir el cálculo a la rama superior. A continuación calcularemos la derivada y simplificaremos el factor raíz de uno más i griega prima al cuadrado. Para terminar aplicaremos un cambio de variable que racionaliza la integral y la calcularemos por descomposición en fracciones simples.

Para hallar el volumen empezaremos por plantearlo con la fórmula del volumen de un sólido de revolución por discos, observando que la integral resultante es impropia. A continuación acotaremos inferiormente el integrando cerca de la singularidad para compararlo con una integral divergente de referencia. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación por desigualdad y concluiremos.

Para hallar el área de la superficie empezaremos por escribir la fórmula general del área de una superficie de revolución y el producto de i griega por la raíz, que ya calculamos en el Apartado a: . A continuación aplicaremos un cambio de variable que simplifica notablemente el integrando. Para terminar expresaremos el área como una integral definida cuyo valor damos numéricamente.

Para hallar el área empezaremos por escribir la fórmula general del área de una superficie de revolución alrededor del eje de ordenadas. A continuación calcularemos el factor de la raíz con la derivada de la función dada. Para terminar integraremos y evaluaremos entre los límites.

Para hallar el perímetro empezaremos por determinar los puntos de corte de la curva con la recta y describir el recinto. A continuación escribiremos el perímetro como suma del segmento rectilíneo y la longitud del arco de curva. Para terminar calcularemos la longitud del arco con la fórmula general, simplificando la raíz mediante una identidad hiperbólica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación del elipsoide de semiejes a, be y ce. A continuación aplicaremos el método de las secciones planas, que obtiene el volumen integrando el área de las secciones perpendiculares a un eje. Para terminar calcularemos la integral definida resultante.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general de la longitud de un arco de curva. A continuación calcularemos la derivada de la función y la sustituiremos en la fórmula. Para terminar observaremos que la integral resultante no tiene primitiva elemental y daremos su valor aproximado.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general de la superficie de revolución. A continuación sustituiremos la función y su derivada, simplificando por simetría. Para terminar daremos el valor aproximado de la integral, que no tiene primitiva elemental.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general del volumen de revolución por el método de los discos. A continuación calcularemos la primitiva de uno partido por equis al cuadrado más uno al cuadrado. Para terminar evaluaremos la integral impropia en toda la recta real.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general del volumen de revolución por el método de los discos. A continuación sustituiremos la función dada y los límites de integración. Para terminar calcularemos la integral definida.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general del volumen de revolución por el método de las capas cilíndricas, adecuado para giros alrededor del eje vertical. A continuación sustituiremos la función dada y los límites de integración. Para terminar calcularemos la integral definida.

Para resolver este apartado empezaremos por despejar la rama superior del lazo y hallar su derivada. A continuación aplicaremos la fórmula general de la superficie de revolución. Para terminar simplificaremos el integrando y calcularemos la integral definida.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general de la longitud de un arco de curva. A continuación calcularemos la derivada de la parábola y la sustituiremos en la fórmula. Para terminar resolveremos la integral mediante un cambio de variable lineal.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general del volumen de revolución por el método de los discos. A continuación sustituiremos la función y los límites de integración. Para terminar calcularemos la integral definida.

Para resolver este apartado empezaremos por identificar la asíntota de la curva. A continuación plantearemos el volumen de revolución por el método de los discos. Para terminar calcularemos la integral impropia resultante.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar que la asíntota es el eje de abscisas. A continuación plantearemos el volumen por el método de los discos como una integral impropia. Para terminar reduciremos la integral a la gaussiana mediante un cambio de variable.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general de la longitud de un arco de curva. A continuación calcularemos la derivada de la función y la sustituiremos en la fórmula. Para terminar observaremos que la integral no tiene primitiva elemental y daremos su valor aproximado.

Para resolver este apartado empezaremos por recordar la fórmula general de la superficie de revolución y la asíntota de la función. A continuación sustituiremos la función y su derivada, simplificando por paridad. Para terminar daremos el valor aproximado de la integral, que no tiene primitiva elemental.

Para calcular el volumen engendrado empezaremos por identificar el centro y el radio de la circunferencia que gira. A continuación aplicaremos el teorema de Guldin (segundo teorema de Pappus), que afirma que el volumen engendrado al girar una región plana alrededor de un eje exterior a ella es igual al producto del área de la región por la longitud de la circunferencia descrita por su centroide. Para terminar multiplicaremos ambos valores.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el volumen del elipsoide de revolución con la fórmula del volumen de un elipsoide. A continuación plantearemos la superficie de revolución con la fórmula general \( S=2\pi\int y\sqrt{1+(y')^{2}}\, dx \) y calcularemos la integral. Para terminar daremos ambos resultados.

Para hallar la longitud de esta curva empezaremos por completar cuadrados para reconocer de qué cónica se trata. A continuación identificaremos sus semiejes y su excentricidad. Para terminar aplicaremos la fórmula del perímetro de una elipse mediante la integral elíptica completa de segunda especie y daremos su valor numérico.

Para calcular este volumen empezaremos por plantearlo con el método de los discos, lo que conduce a una integral impropia. A continuación identificaremos de qué tipo de integral impropia se trata y estudiaremos su convergencia. Para terminar calcularemos la primitiva por partes y aplicaremos la regla de Barrow generalizada.

Para calcular la longitud empezaremos por reconocer la curva como una semicircunferencia. A continuación aplicaremos la fórmula de la longitud de un arco, que conduce a una integral impropia, e identificaremos su tipo. Para terminar la calcularemos con un cambio de variable adecuado y estudiaremos su convergencia.

Para calcular este volumen empezaremos por plantearlo con el método de los discos, lo que conduce a una integral impropia. A continuación identificaremos de qué tipo de integral impropia se trata. Para terminar la calcularemos con la fórmula de la función gamma y comprobaremos su convergencia.

Para calcular este volumen empezaremos por plantearlo con el método de los discos, lo que conduce a una integral impropia en toda la recta. A continuación identificaremos su tipo y justificaremos su convergencia. Para terminar la calcularemos con el teorema de los residuos.

Para calcular este volumen empezaremos por determinar el dominio donde la curva está definida, lo que revela una integral impropia. A continuación identificaremos su tipo y estudiaremos su convergencia. Para terminar calcularemos la primitiva y aplicaremos la regla de Barrow generalizada.

Para calcular este volumen empezaremos por hallar los puntos de corte de las dos curvas, que serán los límites de integración. A continuación determinaremos qué curva está por encima en ese intervalo. Para terminar aplicaremos el método de las arandelas e integraremos.

Para calcular esta superficie empezaremos por identificar el centro y el radio de la circunferencia que gira. A continuación aplicaremos el primer teorema de Guldin (Pappus), que afirma que la superficie engendrada al girar un arco de curva plana alrededor de un eje exterior a él es igual al producto de la longitud del arco por la longitud de la circunferencia descrita por su centroide. Para terminar multiplicaremos ambos valores.

Para hallar la longitud de este arco empezaremos por aplicar la fórmula de la longitud de un arco de curva explícita. A continuación simplificaremos el radicando completando un cuadrado. Para terminar integraremos con un cambio de variable lineal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por describir la esfera como el sólido obtenido al girar la semicircunferencia superior alrededor del eje de abscisas. A continuación calcularemos la superficie de revolución con su fórmula general. Para terminar calcularemos el volumen de revolución con su fórmula general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por describir el cilindro como el sólido obtenido al girar un segmento horizontal alrededor del eje de abscisas. A continuación calcularemos la superficie lateral con la fórmula general de la superficie de revolución. Para terminar calcularemos el volumen con la fórmula general del volumen de revolución.

Para resolver este ejercicio empezaremos por describir el cono como el sólido obtenido al girar su generatriz, que es un segmento de recta, alrededor del eje de abscisas. A continuación calcularemos la superficie lateral con la fórmula general de la superficie de revolución. Para terminar calcularemos el volumen con la fórmula general del volumen de revolución.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación de la recta generatriz del tronco de cono y describirlo como sólido de revolución. A continuación calcularemos la superficie lateral con la fórmula general de la superficie de revolución. Para terminar calcularemos el volumen con la fórmula general del volumen de revolución.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de intersección de la parábola y la recta, que serán los límites de integración. A continuación plantearemos el volumen como diferencia entre el volumen engendrado por la recta y el engendrado por la parábola. Para terminar calcularemos la integral definida resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de intersección de las dos parábolas para delimitar la base. A continuación expresaremos el área de la sección triangular en función de la abscisa. Para terminar integraremos dicha área entre los extremos de la base.

Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la rama superior de la cisoide y calcular su derivada. A continuación formaremos el integrando de la fórmula de la longitud de arco y lo simplificaremos. Para terminar resolveremos la integral definida con un cambio de variable adecuado y duplicaremos por simetría.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el volumen de revolución de la región entre la curva y su asíntota como una integral impropia. A continuación desarrollaremos el integrando para aislar su comportamiento cerca de la asíntota. Para terminar estudiaremos el límite que define la integral impropia.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la superficie de revolución y sustituir en ella la rama superior de la cisoide y el factor radical ya calculado. A continuación simplificaremos el integrando. Para terminar efectuaremos un cambio de variable que reduzca la integral a una forma elemental y daremos su valor.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la superficie de revolución alrededor del eje de ordenadas, despejando \( x \) en función de \( y \). A continuación calcularemos la derivada y el factor radical. Para terminar sustituiremos los límites correspondientes y resolveremos la integral.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de intersección de la curva con la recta. A continuación calcularemos la longitud del arco de curva entre dichos puntos usando la fórmula de la longitud. Para terminar sumaremos la longitud del segmento rectilíneo para obtener el perímetro.

Para resolver este ejercicio empezaremos por cortar el elipsoide con planos perpendiculares al eje \( OX \) e identificar la forma de cada sección. A continuación expresaremos el área de la sección en función de la abscisa. Para terminar integraremos dicha área entre los extremos del elipsoide.

Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que al girar un círculo alrededor de un eje de su plano que no lo corta se obtiene un toro, y despejaremos las dos semicircunferencias. A continuación plantearemos el volumen como diferencia entre el volumen engendrado por la semicircunferencia superior y el de la inferior. Para terminar resolveremos la integral con un cambio trigonométrico.

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que los puntos dados pertenecen a la gráfica y calcular la derivada de la función. A continuación formaremos el integrando de la fórmula de la longitud de arco y usaremos la paridad para simplificar. Para terminar daremos el valor de la integral, que no es elemental.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la derivada de la función y el signo de la función. A continuación plantearemos la superficie de revolución con su fórmula general, usando la paridad para simplificar. Para terminar daremos el valor de la integral, que no es elemental.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el diferencial de volumen de un disco y plantear el volumen como una integral impropia de primera especie. A continuación usaremos la paridad para reducir el intervalo. Para terminar calcularemos la integral impropia de la función racional resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula general del volumen de un sólido de revolución alrededor del eje OX por el método de los discos. A continuación identificaremos la función y los límites de integración de nuestro caso. Para terminar calcularemos la integral definida aplicando la regla de Barrow.

Para resolver este ejercicio empezaremos por describir la región que gira y recordar la fórmula general del volumen de revolución alrededor del eje OY. A continuación calcularemos el volumen del cilindro exterior que contiene a la región. Para terminar restaremos el volumen que genera el área comprendida entre la curva y el eje OY.

Para resolver este ejercicio empezaremos por describir el lazo de la curva y recordar la fórmula general de la superficie de revolución. A continuación calcularemos la derivada y simplificaremos el factor de la raíz. Para terminar integraremos y aplicaremos la regla de Barrow.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula general de la longitud de un arco de curva expresable como \( y=f(x) \). A continuación calcularemos la derivada y plantearemos la integral. Para terminar la resolveremos con un cambio de variable que reduzca el radicando a la forma \( u^{2}+1 \)

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula general del volumen de revolución por el método de los discos. A continuación sustituiremos la función y los límites. Para terminar calcularemos la integral definida con la regla de Barrow.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula general de la longitud de un arco de curva. A continuación calcularemos la derivada de la función. Para terminar plantearemos la integral definida (que no admite primitiva elemental) y daremos su valor numérico.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula general de la superficie de revolución e identificar la asíntota. A continuación calcularemos la derivada. Para terminar plantearemos la integral definida y daremos su valor numérico.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el centro, el radio y los límites de integración. A continuación escribiremos el volumen como diferencia de los volúmenes generados por las dos semicircunferencias. Para terminar calcularemos la integral.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula general del volumen de revolución. A continuación la aplicaremos a la función dada. Para terminar calcularemos la integral usando las fórmulas del ángulo doble.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de corte entre la parábola y la recta, que serán los límites de integración. A continuación plantearemos el volumen pedido como diferencia de los volúmenes de los dos sólidos de revolución generados por cada curva. Para terminar calcularemos la integral definida aplicando la regla de Barrow.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el centro y el radio de la circunferencia y despejar la variable \( y \) en función de \( x \), obteniendo las dos semicircunferencias. A continuación plantearemos la integral de la superficie de revolución y la simplificaremos usando la simetría de las dos ramas respecto de la recta horizontal que pasa por el centro. Para terminar calcularemos la integral resultante, que es inmediata.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la longitud de un arco en coordenadas polares y calcular la derivada de la función. A continuación simplificaremos el radicando con identidades trigonométricas hasta obtener una expresión integrable. Para terminar calcularemos la integral definida.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el intervalo de \(\alpha \) que describe el bucle de la lemniscata situado a la derecha del polo. A continuación plantearemos la integral de la superficie de revolución en coordenadas polares y simplificaremos el integrando derivando la relación implícita. Para terminar calcularemos la integral definida.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de corte de la curva con el eje de abscisas, que serán los límites de integración. A continuación plantearemos el volumen de revolución con la fórmula general, aprovechando la simetría de la curva respecto del eje de ordenadas. Para terminar calcularemos la integral definida con la regla de Barrow.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la longitud de un arco en coordenadas polares y calcular la derivada de la función. A continuación formaremos el radicando y observaremos que no admite primitiva elemental. Para terminar obtendremos el valor de la longitud mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de corte de la curva con el eje de abscisas, que serán los límites de integración. A continuación plantearemos el volumen de revolución con la fórmula general. Para terminar efectuaremos la división de polinomios del integrando y calcularemos la integral definida.

Para resolver este ejercicio empezaremos por describir el sólido intersección y estudiar la forma de sus secciones perpendiculares al eje de ordenadas. A continuación plantearemos el volumen como la integral definida del área de dichas secciones. Para terminar calcularemos la integral con la regla de Barrow.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la longitud de un arco en coordenadas polares y calcular la derivada de la función. A continuación formaremos el radicando y comprobaremos que no admite primitiva elemental. Para terminar obtendremos la longitud mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la expresión de la curva y hallar sus cortes con el eje de abscisas, que serán los límites de integración. A continuación plantearemos la integral de la superficie de revolución y simplificaremos el integrando. Para terminar calcularemos la integral definida.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la longitud de un arco en coordenadas polares y calcular la derivada de la función. A continuación formaremos el radicando sobre los dos intervalos del dominio y observaremos que no admite primitiva elemental. Para terminar obtendremos la longitud mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los cortes de la curva con el eje de ordenadas, que serán los límites de integración. A continuación plantearemos la integral de la superficie de revolución alrededor del eje de ordenadas y la expresaremos en función de \( y \). Para terminar observaremos que no admite primitiva elemental y obtendremos el valor mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la asíntota de la curva, que será el eje de giro. A continuación plantearemos el volumen de revolución alrededor del eje de ordenadas con la fórmula para curvas paramétricas. Para terminar calcularemos la integral definida.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos donde la curva corta al eje de abscisas, que serán los límites de integración. A continuación plantearemos la integral de la longitud del arco y la expresaremos en función de \( x \), aprovechando la simetría de la curva. Para terminar observaremos que no admite primitiva elemental y obtendremos el valor mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar los intervalos de \(\alpha \) que describen los dos bucles de la lemniscata. A continuación plantearemos la integral de la longitud en coordenadas polares y simplificaremos el integrando derivando la relación implícita. Para terminar observaremos que no admite primitiva elemental y obtendremos el valor mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la curva en el primer cuadrante y localizar su máximo, lo que nos obligará a distinguir dos ramas al despejar \( x \) en función de \( y \). A continuación plantearemos el volumen por el método de arandelas como diferencia de los volúmenes generados por cada rama. Para terminar calcularemos las integrales resultantes.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la longitud de un arco en paramétricas y calcular las derivadas de las funciones coordenadas. A continuación formaremos el integrando sobre el intervalo que describe el lazo. Para terminar observaremos que no admite primitiva elemental y obtendremos el valor mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la superficie de revolución para curvas paramétricas. A continuación sustituiremos las funciones del folium y sus derivadas, ya calculadas. Para terminar observaremos que la integral no admite primitiva elemental y obtendremos el valor mediante integración numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general del volumen de revolución para curvas paramétricas. A continuación analizaremos el signo de \( x'(t) \) para separar la rama inferior de la superior del lazo, pues el volumen es la diferencia entre el generado por cada una. Para terminar calcularemos numéricamente las integrales resultantes.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la longitud de un arco de curva explícita y calcular la derivada de la función. A continuación simplificaremos el integrando con un cambio de variable lineal. Para terminar calcularemos la integral resultante, cuya primitiva se obtiene con una sustitución trigonométrica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro que la recorre por completo. A continuación aplicaremos la fórmula general de la longitud en paramétricas. Para terminar calcularemos la integral, que resulta inmediata.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el intervalo de \(\alpha \) que recorre la curva por completo. A continuación aplicaremos la fórmula general de la longitud en coordenadas polares y simplificaremos el radicando. Para terminar calcularemos la integral definida resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la curva y determinar su asíntota, que será el eje de giro. A continuación plantearemos el volumen de revolución como una integral impropia. Para terminar calcularemos dicha integral por partes.

Para calcular la longitud de una curva en coordenadas polares usaremos la fórmula \( L = \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sqrt{r^2 + (r')^2}\, d\alpha \). Primero determinaremos el intervalo de alfa que describe la curva y calcularemos la derivada de r. Después plantearemos la integral de la longitud y la evaluaremos.

Usaremos la fórmula de la longitud en coordenadas polares. Primero localizaremos los ceros de r para delimitar un pétalo y calcularemos la derivada. Después plantearemos la integral de la longitud de un pétalo y multiplicaremos por el número de pétalos.

Usaremos la fórmula de la longitud en paramétricas, \( L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\, dt \), con \( t \in [0, 2\pi] \) para un arco.

Para una curva en paramétricas, el volumen de revolución alrededor del eje OX se calcula con \( V = \pi\int_{t_0}^{t_1} y^2(t)\, x'(t)\, dt \), con \( t \in [0, 2\pi] \) para un arco.

Al girar alrededor del eje OY hay que plantear dos integrales, una por cada rama del arco (la rama de subida y la de bajada), restando el volumen de la región interior. La fórmula en paramétricas es \( V = \pi\int x^2(t)\, y'(t)\, dt \)

La superficie de revolución en paramétricas alrededor del eje X se calcula con \( S_L = 2\pi\int_{t_0}^{t_1} y(t)\sqrt{(x')^2 + (y')^2}\, dt \), con \( t \in [0, 2\pi] \)

Usaremos la fórmula de la longitud en coordenadas polares, \( L = \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sqrt{r^2 + (r')^2}\, d\alpha \). Por simetría respecto del eje de abscisas basta calcular la mitad superior y duplicar.

En coordenadas polares, el volumen de revolución alrededor del eje OX se calcula con \( V = \frac{2}{3}\pi\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} r^3\operatorname{sen}\alpha\, d\alpha \). Por simetría integramos la mitad superior, \(\alpha \in [0, \pi] \)

En coordenadas polares, la superficie de revolución alrededor del eje X se calcula con \( S_L = 2\pi\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} r\operatorname{sen}\alpha\sqrt{r^2 + (r')^2}\, d\alpha \). Por simetría integramos \(\alpha \in [0, \pi] \)

Usaremos la fórmula de la longitud en coordenadas polares, \( L = \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sqrt{r^2 + (r')^2}\, d\alpha \). Por simetría calcularemos la mitad de la curva y duplicaremos.

La superficie de revolución en paramétricas alrededor del eje X se calcula con \( S_L = 2\pi\int_{t_0}^{t_1} y(t)\sqrt{(x')^2 + (y')^2}\, dt \). Primero calcularemos las derivadas y simplificaremos el integrando.

Usaremos la fórmula de la longitud en paramétricas, \( L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\, dt \)

La astroide es simétrica respecto a los ejes de abscisas y de ordenadas, luego calcularemos la longitud de una rama (un cuadrante) y multiplicaremos por cuatro. Usaremos \( L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\, dt \)

Usaremos la fórmula de la longitud en paramétricas, \( L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\, dt \)

Usaremos la fórmula de la longitud en coordenadas polares, \( L = \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sqrt{r^2 + (r')^2}\, d\alpha \), con \(\alpha \in (-\infty, 0] \)

Usaremos la fórmula de la longitud en coordenadas polares, \( L = \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sqrt{r^2 + (r')^2}\, d\alpha \). Primero calcularemos la derivada de r.