Ejercicios · 4.2 Ecuaciones de variables separadas

Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar las rectas que se obtienen al igualar a cero los coeficientes de los diferenciales, para comprobar si se cortan en un punto. A continuación efectuaremos un cambio de variable que traslade el origen de coordenadas a dicho punto de corte, lo que transformará la ecuación en una ecuación homogénea. Para terminar resolveremos la ecuación homogénea mediante el cambio de variable habitual y desharemos los cambios realizados.

Para resolver este ejercicio empezaremos por separar las variables, agrupando en cada miembro los términos que dependen solo de \( x \) y los que dependen solo de \( y \). A continuación integraremos ambos miembros para obtener la solución general. Para terminar determinaremos la constante de integración imponiendo que la solución pase por el punto \((1, 1) \)

Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar las rectas asociadas a los coeficientes de los diferenciales, para ver si se cortan o son paralelas. A continuación, al tratarse de rectas paralelas, efectuaremos el cambio de variable \( z = 3x + y \), que reducirá la ecuación a una de variables separadas. Para terminar integraremos y desharemos el cambio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la solución general de la ecuación, obtenida mediante el cambio de variable \( z = 3x + y \). A continuación impondremos la condición de paso por el punto \((1, 2) \) para determinar la constante de integración. Para terminar escribiremos la solución particular resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación en forma explícita y justificar que es homogénea. A continuación aplicaremos el cambio de variable \( y = xu \), que la reducirá a una ecuación de variables separadas. Para terminar integraremos descomponiendo en fracciones simples y desharemos el cambio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la solución general de la ecuación homogénea, obtenida con el cambio \( y = xu \). A continuación impondremos la condición de paso por el punto \((1, 3) \) para determinar la constante de integración. Para terminar escribiremos la solución particular resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la solución general de la ecuación lineal, obtenida mediante el factor integrante. A continuación impondremos la condición de paso por el punto \((2, 3) \) para determinar la constante de integración. Para terminar escribiremos la solución particular resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el punto de corte de las rectas asociadas a los coeficientes de los diferenciales. A continuación trasladaremos el origen a dicho punto, lo que convertirá la ecuación en homogénea. Para terminar aplicaremos el cambio propio de las ecuaciones homogéneas, integraremos y desharemos los cambios.

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar si la ecuación es exacta, calculando las derivadas parciales cruzadas. A continuación, al no ser exacta, ensayaremos el factor integrante \(\mu = \frac{1}{y} \) y verificaremos que la ecuación multiplicada sí es exacta. Para terminar hallaremos la función potencial integrando y obtendremos la solución general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que se trata de una ecuación lineal de primer orden y escribirla en su forma normalizada. A continuación escribiremos la fórmula general de resolución mediante el factor integrante, definiendo cada término. Para terminar calcularemos el factor integrante, resolveremos la integral que aparece y obtendremos la solución general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar si la ecuación es exacta mediante las derivadas parciales cruzadas. A continuación, al no ser exacta, buscaremos un factor integrante que dependa solo de \( x \) aplicando la fórmula general que lo determina. Para terminar multiplicaremos la ecuación por dicho factor, comprobaremos que ahora sí es exacta y hallaremos su función potencial.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la solución general de la ecuación exacta. A continuación impondremos la condición de paso por el punto \((0, 1) \) para determinar la constante de integración. Para terminar escribiremos la solución particular resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que las rectas asociadas son paralelas, por lo que el cambio \( z = x + y \) reduce la ecuación a variables separadas. A continuación efectuaremos dicho cambio y separaremos las variables. Para terminar integraremos y desharemos el cambio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el punto de corte de las rectas asociadas a los coeficientes. A continuación trasladaremos el origen a dicho punto, lo que convertirá la ecuación en homogénea. Para terminar aplicaremos el cambio propio de las ecuaciones homogéneas, integraremos y desharemos los cambios.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación en forma explícita y justificar que es homogénea. A continuación aplicaremos el cambio de variable \( y = xu \) para reducirla a variables separadas. Para terminar integraremos, simplificaremos los logaritmos y desharemos el cambio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación en forma explícita y justificar que es homogénea. A continuación aplicaremos el cambio de variable \( y = xu \) para reducirla a variables separadas. Para terminar integraremos y desharemos el cambio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el punto de corte de las rectas asociadas a los coeficientes. A continuación trasladaremos el origen a dicho punto, lo que convertirá la ecuación en homogénea. Para terminar aplicaremos el cambio propio de las ecuaciones homogéneas, integraremos y desharemos los cambios.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que se trata de una ecuación lineal de primer orden ya escrita en forma normalizada. A continuación escribiremos la fórmula general de resolución mediante el factor integrante. Para terminar calcularemos el factor integrante, resolveremos la integral que aparece y obtendremos la solución general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la ecuación no es lineal en \( y \), pero sí lo es si consideramos \( x \) como función de \( y \), invirtiendo la derivada. A continuación escribiremos la ecuación lineal resultante en forma normalizada y aplicaremos la fórmula del factor integrante. Para terminar calcularemos la integral que aparece y obtendremos la solución general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación en forma explícita y clasificarla como ecuación de Bernoulli. A continuación aplicaremos el cambio de variable que linealiza las ecuaciones de Bernoulli. Para terminar resolveremos la ecuación lineal resultante mediante el factor integrante y desharemos el cambio.