Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la igualdad en el caso base, con el primer número natural. A continuación supondremos cierta la fórmula para un natural cualquiera y escribiremos con precisión lo que habría que demostrar para el siguiente. Para terminar sumaremos el cuadrado que falta y, con álgebra cuidadosa, llegaremos exactamente a la fórmula del caso siguiente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el segundo miembro usando la fórmula cerrada de la suma de los primeros números naturales. A continuación comprobaremos el caso base con el primer natural. Para terminar supondremos la igualdad para un natural cualquiera y demostraremos que, al sumar el cubo siguiente, se obtiene exactamente el cuadrado que corresponde al caso siguiente.
Probar que para todo número natural \( n \), \( n^5 - n \) es divisible por 5.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar el caso base, donde la expresión vale cero. A continuación supondremos que la expresión es múltiplo de 5 para un natural cualquiera, escribiéndolo como una igualdad. Para terminar desarrollaremos la expresión del natural siguiente con el binomio de Newton y agruparemos sus términos hasta aislar un múltiplo de 5 completo.
Probar que para todo número natural \( n \ge 2 \), \( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la desigualdad en el primer caso permitido, con una comparación exacta, sin aproximaciones. A continuación supondremos la desigualdad cierta para un natural cualquiera mayor o igual que
2. Para terminar sumaremos el término siguiente en ambos miembros y demostraremos, con equivalencias, que la cantidad obtenida sigue superando a la raíz del natural siguiente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar los dos combinatorios del segundo miembro en términos de factoriales, usando su definición. A continuación reduciremos la suma a común denominador, deshaciendo los factoriales que se llevan un paso de diferencia. Para terminar simplificaremos el numerador y reconoceremos en el resultado el combinatorio del primer miembro.
Probar la fórmula del binomio de Newton \( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la fórmula en el caso base, con el exponente igual a
1. A continuación supondremos la fórmula cierta para un exponente ene y multiplicaremos por el binomio para llegar al exponente siguiente. Para terminar reagruparemos las dos sumas en una sola aplicando la regla de Pascal, que deduciremos antes con factoriales.