Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{(1^2 + 2^2 + \dots + n^2)^2}{(1 + 2 + \dots + n)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir las dos sumas por sus fórmulas cerradas en función de \( n \). A continuación extraeremos la potencia dominante de cada suma y elevaremos a las potencias pedidas. Para terminar simplificaremos el cociente y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + n + n^2 + n^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la suma del numerador con su fórmula cerrada y desarrollarla como polinomio. A continuación dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia dominante. Para terminar pasaremos al límite y leeremos el cociente de los coeficientes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{n^2 + 1}}{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por la expresión conjugada de la resta de raíces. A continuación simplificaremos el numerador, donde las raíces se eliminan con la diferencia de cuadrados. Para terminar extraeremos la potencia dominante del denominador y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left[ 1 + \log\left(\frac{3n^2 + 2n + 1}{3n^2 + 5n}\right) \right]^{4n + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación uno elevado a infinito que esconde la sucesión. A continuación descompondremos el argumento del logaritmo como uno más un infinitésimo y aplicaremos la equivalencia del logaritmo neperiano. Para terminar calcularemos el límite del exponente resultante y aplicaremos el criterio del número e.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por fijarnos en el término dominante dentro de los radicales anidados. A continuación dividiremos el numerador y el denominador entre la raíz cuadrada de \( n \), metiendo la división dentro de cada radical. Para terminar evaluaremos los términos que se hacen pequeños y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (2 + 3n^4)^{\frac{1}{3 + 2\log(n+1)}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por clasificar la indeterminación infinito elevado a cero que presenta la potencia. A continuación tomaremos el logaritmo neperiano de la sucesión para convertir la potencia en un cociente. Para terminar calcularemos el límite de ese cociente con las propiedades del logaritmo y recuperaremos el límite original con la exponencial.
Calcular en función del parámetro real \( a \) el límite de la sucesión: \( x_n = \sqrt[3]{n^3 + an^2} - \sqrt[3]{n^3 - an^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito menos infinito que produce la resta de las dos raíces cúbicas. A continuación racionalizaremos la diferencia con la identidad de la diferencia de cubos. Para terminar extraeremos la potencia dominante de cada término del denominador y pasaremos al límite en función del parámetro.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{n^2 + 3n - 2}{n^2 + n} \right)^{\frac{n^3 + 2}{2n^2 + 1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la base tiende a uno y el exponente a infinito, la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos el criterio de la base menos uno y calcularemos la base menos uno y su producto por el exponente. Para terminar pasaremos al límite en el cociente de polinomios resultante y escribiremos el resultado como potencia del número e.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{n + 1}{n - 1} \right)^{\frac{n^2 + 2}{n - 3}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la base tiende a uno y el exponente a infinito, la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos el criterio del número e: restaremos uno a la base y multiplicaremos el resultado por el exponente. Para terminar calcularemos el límite de ese producto, y su exponencial será el límite buscado.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (4n + 3) \log\left( \frac{n + 1}{n - 2} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito por cero: el primer factor crece sin freno y el logaritmo tiende a cero. A continuación reescribiremos el argumento del logaritmo como uno más una fracción que tiende a cero y aplicaremos la equivalencia del logaritmo neperiano. Para terminar sustituiremos el logaritmo por su equivalente y calcularemos el límite de la fracción racional resultante.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{3\sqrt[3]{n} - 4\sqrt[5]{n^2}}{\sqrt[3]{n} - 3(4 - \sqrt[5]{n})} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir todas las raíces en potencias de exponente fraccionario. A continuación dividiremos numerador y denominador entre la potencia dominante del denominador, comparando los exponentes con calma. Para terminar pasaremos al límite y comprobaremos que el numerador se escapa a menos infinito mientras el denominador tiende a uno.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (2^n + 3^n)^{\frac{1}{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la exponencial dominante dentro de la suma, la de base tres. A continuación la extraeremos como factor común y sacaremos el factor tres fuera de la raíz ene-ésima. Para terminar acotaremos el factor que queda entre uno y una raíz ene-ésima de dos, y el teorema del sándwich cerrará el límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sqrt{9n^2 - n} - \sqrt[3]{27n^3 - 5n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que los dos términos crecen como tres ene, lo que produce la indeterminación infinito menos infinito. A continuación sumaremos y restaremos tres ene para separar la resta en dos límites independientes, que calcularemos por separado. Para terminar obtendremos el primero multiplicando por su conjugada y el segundo con la diferencia de cubos, y restaremos los dos resultados.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{\log(n^2 + 1)}{\log(n^2 - 1)} \right)^{n^2 \log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la base tiende a uno y el exponente a infinito, la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos el criterio del número e: calcularemos la base menos uno con las propiedades del logaritmo neperiano y la multiplicaremos por el exponente. Para terminar calcularemos el límite de ese producto con la equivalencia del logaritmo, y su exponencial será el límite buscado.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{2^{2n} (n! )^2 \sqrt{n}}{(2n + 1)! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula de Stirling, que describe cada factorial con una expresión de potencias. A continuación la aplicaremos al factorial del numerador, elevado al cuadrado, y al factorial par del denominador. Para terminar sustituiremos ambas equivalencias en el cociente y simplificaremos hasta obtener el valor exacto del límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{(3n + 1)(3n + 2)\dots(4n)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por introducir el factor exterior dentro de la raíz, dividiendo cada uno de los factores entre el índice. A continuación tomaremos logaritmos neperianos para convertir el producto en una suma, y reconoceremos en ella una suma de Riemann. Para terminar calcularemos la integral definida asociada y desharemos el logaritmo con la exponencial.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sum_{k=1}^n k \sin\left(\frac{1}{n^2 + k}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar el denominador de cada argumento del seno entre su menor y su mayor valor. A continuación usaremos la desigualdad fundamental del seno para acotar la suma por arriba y por abajo, calculando por separado las sumas de potencias que aparecen. Para terminar aplicaremos el criterio del sándwich y obtendremos que las dos cotas comparten el mismo límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sum_{k=1}^n \sin\left( \frac{n^2 \pi}{2(n^2 + k)} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar el argumento de cada seno entre su menor y su mayor valor. A continuación usaremos que el seno crece en el primer cuadrante para convertir esa acotación en un suelo común a todos los sumandos. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación y concluiremos que la suma crece sin límite.
Determinar la relación que debe existir entre los parámetros reales \( p \) y \( q \) para que se cumpla la igualdad: \( \lim_{n\to\infty} \left( \frac{3n^2 - 2}{3n^2 + 1} \right)^{pn^2 - 1} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n + q}{n - q} \right)^{2n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el primer límite en función del parámetro \( p \) mediante el criterio del número e. A continuación calcularemos el segundo límite en función de \( q \) con el mismo criterio. Para terminar igualaremos los dos resultados y deduciremos de ahí la relación entre los parámetros.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\log 2 + \log 3 + \dots + \log n}{n \log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el criterio de Stolz-Cesàro, definiendo el numerador y el denominador como dos sucesiones y comprobando sus hipótesis. A continuación calcularemos los incrementos de ambas sucesiones entre dos términos consecutivos. Para terminar evaluaremos el límite del cociente de incrementos, que coincide con el límite pedido.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sum_{k=1}^n \sin^2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}{\log(n+1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el criterio de Stolz-Cesàro con el sumatorio como numerador y el logaritmo como denominador. A continuación calcularemos los incrementos de ambas sucesiones entre dos términos consecutivos. Para terminar formaremos el cociente de incrementos como cociente de dos límites notables y evaluaremos su límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el criterio de Stolz-Cesàro con la suma de inversos de raíces como numerador y la raíz de ene como denominador. A continuación calcularemos los dos incrementos, racionalizando el del denominador con su expresión conjugada. Para terminar formaremos el cociente de incrementos y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sin 1 + 2^2 \sin\left(\frac{1}{2}\right) + 3^2 \sin\left(\frac{1}{3}\right) + \dots + n^2 \sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el criterio de Stolz-Cesàro con la suma pesada como numerador y el cuadrado de ene como denominador. A continuación calcularemos los dos incrementos, separando en el del numerador el factor que tiende a uno. Para terminar formaremos el cociente de incrementos, lo simplificaremos dividiendo entre ene y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[4]{4} + \dots + n\sqrt[n]{n}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por demostrar que la raíz ene-ésima de ene tiende a uno, acotando su distancia al uno con el binomio de Newton. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro, calculando el incremento del numerador y el del denominador. Para terminar pasaremos al límite en el cociente de incrementos.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{1! }} + \frac{2}{\sqrt{2! }} + \frac{3}{\sqrt{3! }} + \dots + \frac{n}{\sqrt{n! }}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de Stolz-Cesàro, definiendo el numerador y el denominador y calculando sus incrementos. A continuación formaremos el cociente de incrementos y lo simplificaremos dividiendo entre ene. Para terminar demostraremos que la raíz cuadrada del factorial tiende a infinito y cerraremos el límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{n! }{1! + 2! + 3! + \dots + n! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir numerador y denominador entre ene factorial, de modo que el numerador quede en uno. A continuación calcularemos el penúltimo término del denominador, que tiende a cero. Para terminar acotaremos toda la cola restante y demostraremos que el denominador completo tiende a uno.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1}{n} \frac{1 + 16 + 81 + \dots + n^4}{n^4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer las cuartas potencias y reescribir la sucesión como un solo cociente. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro, calculando los incrementos; el del denominador exigirá desarrollar una quinta potencia con el binomio de Newton. Para terminar pasaremos al límite en el cociente de incrementos.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \dots + n\sqrt{n}}{n^2 \sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir cada sumando como una potencia y aplicar el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos el incremento del denominador con exactitud, factorizando una diferencia de quintas potencias, sin aproximar nada. Para terminar pasaremos al límite en el cociente de incrementos.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\cos 1 + \cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \dots + \cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) - n}{\log(n^3 + 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reagrupar el numerador restando un uno a cada coseno. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro con el logaritmo como denominador, calculando los dos incrementos y separando en cada uno su factor principal. Para terminar formaremos el cociente de incrementos, lo simplificaremos y pasaremos al límite.
Dado un entero positivo \( p \in \mathbb{N} \), calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1^p + 2^p + \dots + n^p}{n^p} - \frac{n}{p+1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir las dos fracciones a un común denominador. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro, calculando los dos incrementos con el desarrollo del binomio de Newton hasta el segundo orden. Para terminar formaremos el cociente de incrementos, lo simplificaremos dividiendo entre la potencia dominante y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{1\cdot 2\cdot 3} + \sqrt{2\cdot 3\cdot 4} + \dots + \sqrt{n(n+1)(n+2)}}{n^2 \sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar el término general de la suma, extrayendo del radicando su potencia dominante. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro, calculando los dos incrementos y separando en cada uno su factor principal. Para terminar formaremos el cociente de incrementos y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\log 1 - \log 2 + \log 3 - \log 4 + \dots + \log(2n-1) - \log(2n)}{\log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar los sumandos en parejas de impar y par consecutivos, convirtiendo cada pareja en el logaritmo de un solo cociente. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro, calculando los dos incrementos y separando en cada uno el factor del límite notable del logaritmo. Para terminar formaremos el cociente de incrementos, lo simplificaremos y pasaremos al límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{\sum_{k=1}^n \left(e^{1/\sqrt{k}} - 1\right)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la base tiende a uno y que el exponente tiende a más infinito: estamos ante la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos el criterio del número e, que reduce el problema al límite del producto de la base menos uno por el exponente. Para terminar calcularemos ese límite auxiliar con el criterio de Stolz-Cesàro y tomaremos la exponencial del resultado.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{2}{1} + \frac{3^2}{2} + \frac{4^3}{3^2} + \dots + \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el término general de la suma aislando un factor que tiende al número e. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro al cociente entre la suma y el cuadrado del índice. Para terminar evaluaremos el cociente de incrementos y obtendremos el límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\arcsin(1) + \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \dots + \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)}{\log(n^3 + 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el cociente como un cociente de sucesiones al que aplicar el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos los dos incrementos por separado, separando en cada uno un factor exacto que tiende a uno. Para terminar pasaremos al límite en el cociente de incrementos.
Sea \( (a_n)_{n=1}^\infty \) una sucesión de términos reales estrictamente positivos tal que \( \lim_{n\to\infty} a_n = a \). Calcular para cualquier entero fijo \( k \ge 1 \) el límite: \( L = \lim_{n\to\infty} \left[ \frac{a_1^{1/k} + 2 a_2^{1/k} + \dots + n a_n^{1/k}}{\frac{n(n+1)}{2}} \right]^k \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la sucesión auxiliar de las raíces ka-ésimas y calcular su límite por continuidad. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro a la media ponderada que aparece dentro de la potencia. Para terminar elevaremos el resultado a la potencia ka usando otra vez la continuidad.