Ejercicios · Tema 6: Polinomios de Taylor. Series de potencias

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función como una potencia y calcular sus tres primeras derivadas siguiendo el patrón paso a paso. A continuación demostraremos por inducción la fórmula de la derivada enésima y la evaluaremos en el centro. Para terminar construiremos el polinomio de Taylor con su resto de Lagrange.

Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener la derivada enésima del seno con argumento lineal, usando que cada derivación suma un desfase de pi medios. A continuación la evaluaremos en el centro separando los órdenes pares de los impares. Para terminar escribiremos el polinomio de Taylor resultante con sus primeros términos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las primeras derivadas de la función y leer en ellas el patrón que siguen. A continuación demostraremos ese patrón por inducción para obtener la derivada de cualquier orden. Para terminar evaluaremos las derivadas en el origen y construiremos el polinomio de Maclaurin con su resto de Lagrange.

Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el cuadrado del coseno en un coseno simple con la identidad del ángulo doble. A continuación derivaremos ese coseno una y otra vez hasta obtener la ley de la derivada enésima. Para terminar evaluaremos las derivadas en el origen, separando los órdenes pares de los impares, y construiremos la fórmula de Maclaurin.

Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el cuadrado del seno en un coseno simple con la identidad del ángulo doble. A continuación derivaremos ese coseno una y otra vez hasta obtener la ley de la derivada enésima. Para terminar evaluaremos las derivadas en el origen, separando los órdenes pares de los impares, y construiremos la fórmula de Maclaurin.

Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la fracción en dos fracciones simples, que sí sabemos derivar muchas veces seguidas. A continuación obtendremos la derivada enésima de cada fracción simple y las reuniremos en una sola ley. Para terminar evaluaremos esa ley en el centro y construiremos la fórmula de Taylor.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz como una potencia de exponente un medio y calcular sus primeras derivadas. A continuación demostraremos por inducción la ley general, donde aparece el producto de los números impares. Para terminar evaluaremos las derivadas en el centro y construiremos la fórmula de Taylor con su resto de Lagrange.

Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la función en dos fracciones simples, una por cada factor del denominador. A continuación derivaremos cada fracción ene veces con la regla de la potencia compuesta y reuniremos las dos derivadas. Para terminar evaluaremos en el origen, separaremos los órdenes pares de los impares y escribiremos la fórmula de Maclaurin.

Para resolver este ejercicio empezaremos por nombrar los dos factores del producto y calcular las derivadas sucesivas de cada uno por separado. A continuación aplicaremos la regla de Leibniz, que se acorta porque las derivadas del polinomio se anulan desde el orden tres. Para terminar sustituiremos, sacaremos factor común y desarrollaremos el resultado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la derivada enésima del seno, que solo añade un desfase en cada derivación. A continuación aplicaremos la regla de Leibniz al producto de la variable por el coseno, cuyo primer factor se agota a la segunda derivada. Para terminar restaremos las dos derivadas y agruparemos los términos en seno.

Para resolver este ejercicio empezaremos por nombrar los dos factores y calcular las derivadas de cada uno: las del cuadrado se agotan y las de la potencia salen de un factorial descendente. A continuación aplicaremos la regla de Leibniz, que se queda en tres sumandos. Para terminar sustituiremos, sacaremos el factorial como factor común y agruparemos el polinomio por potencias.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar ene veces el término racional, escribiéndolo como una potencia de exponente negativo. A continuación aplicaremos la regla de Leibniz al producto del cuadrado por el seno, simplificando los desfases que aparezcan. Para terminar sumaremos las dos derivadas en una sola expresión.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el seno con su fórmula de Maclaurin, para ver la resta término a término. A continuación restaremos y nos quedaremos con el primer término que no se anula. Para terminar comprobaremos con el límite del cociente que ese término manda, y leeremos el orden y la parte principal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el coseno con su fórmula de Maclaurin. A continuación restaremos de uno y nos quedaremos con el primer término que no se anula. Para terminar comprobaremos con el límite del cociente que ese término manda, y leeremos el orden y la parte principal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir los desarrollos de Maclaurin de la tangente y del seno hasta el grado tres. A continuación restaremos los dos desarrollos término a término y sumaremos los coeficientes del primer término que sobreviva. Para terminar comprobaremos con el límite del cociente que ese término manda, y leeremos el orden y la parte principal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por la suma de las dos raíces, su expresión conjugada, para convertir la resta de raíces en un cociente manejable. A continuación estudiaremos el numerador con el desarrollo del seno y el denominador con un límite directo. Para terminar reuniremos los dos límites, hallaremos la potencia que hace el cociente constante y leeremos el orden y la parte principal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el coseno hiperbólico desde su definición con exponenciales y desarrollar cada exponencial con la fórmula de Maclaurin. A continuación sumaremos los dos desarrollos, dividiremos entre dos y restaremos uno. Para terminar comprobaremos con el límite del cociente que el primer término que sobrevive manda, y leeremos el orden y la parte principal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar qué buscamos al hablar del orden y de la parte principal de un infinitésimo. A continuación desarrollaremos el arcoseno por un camino seguro: desarrollaremos su derivada con la serie binomial y luego integraremos término a término. Para terminar restaremos \( x \) y leeremos el primer término que sobreviva.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar qué significan el orden y la parte principal de un infinitésimo. A continuación desarrollaremos la raíz con la serie binomial y escribiremos el argumento del logaritmo en la forma uno más un infinitésimo, para aplicar después el desarrollo del logaritmo cuidando cada aportación de grado dos. Para terminar leeremos el término de menor grado no nulo y comprobaremos el orden con su límite.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar qué significan el orden y la parte principal de un infinitésimo. A continuación construiremos el desarrollo de la tangente sin memorizarlo: hallaremos su derivada, que se expresa con la propia tangente, derivaremos una y otra vez en el cero y montaremos la fórmula de Maclaurin. Para terminar restaremos \( x \) y leeremos el primer término que sobreviva.

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que numerador y denominador se anulan a la vez en el uno, de donde nace la indeterminación. A continuación factorizaremos los dos polinomios extrayendo el factor común con la regla de Ruffini y resolviendo las ecuaciones de segundo grado que queden. Para terminar cancelaremos los factores comunes y evaluaremos la fracción simplificada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación cero entre cero que aparece al sustituir el cero. A continuación multiplicaremos y dividiremos la fracción por el conjugado del numerador, transformando la diferencia de raíces en una diferencia de cuadrados que sí sabemos desarrollar. Para terminar cancelaremos la variable que causa la indeterminación y evaluaremos la fracción resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hacer un cambio de variable que transforma las raíces enésimas en potencias enteras. A continuación aplicaremos la factorización de la diferencia de potencias enésimas y cancelaremos el factor que causa la indeterminación. Para terminar contaremos cuántos sumandos idénticos quedan tras tomar el límite y desharemos la sustitución para obtener el resultado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer el numerador como una suma geométrica ponderada, derivando la suma de las potencias consecutivas. A continuación calcularemos esa misma derivada desde la forma cerrada de la suma y multiplicaremos por la variable, hasta obtener exactamente el cociente del enunciado. Para terminar evaluaremos el límite sustituyendo y cerraremos con la fórmula de la suma de los primeros números naturales.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir cada diferencia de exponenciales restando y sumando la unidad, que es el valor de cualquier exponencial en el cero. A continuación dividiremos numerador y denominador entre la variable, de modo que aparezcan cuatro tasas de variación elementales. Para terminar aplicaremos el límite notable de la exponencial a cada una de ellas y reuniremos el resultado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reagrupar el numerador separando la exponencial del seno. A continuación dividiremos numerador y denominador entre la variable, para que cada pieza quede en la forma de un límite notable. Para terminar sustituiremos los tres límites notables y haremos la cuenta final.

Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir la cotangente en tangente, que es la función cuyo límite notable conocemos. A continuación normalizaremos el argumento, multiplicando y dividiendo por el coeficiente que lo acompaña, para que aparezca exactamente la forma del límite notable. Para terminar aplicaremos ese límite y reuniremos las constantes.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos el criterio del número e, que convierte la potencia en una exponencial y traslada el trabajo a su exponente. Para terminar calcularemos ese exponente con el cambio a la variable inversa y el límite notable de la potencia, y reuniremos los logaritmos hasta llegar a la raíz cúbica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos el criterio del número e para trasladar el trabajo al exponente, que es un producto de cero por infinito. Para terminar resolveremos ese producto con un cambio de variable que convierte la tangente en cotangente, y elevaremos la base e al resultado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo infinito elevado a cero. A continuación tomaremos logaritmos neperianos, que convierten la potencia en un producto de cero por infinito con el logaritmo del límite. Para terminar desharemos ese producto con las equivalencias de la tangente y de la cotangente cerca del cero y con el cambio a la inversa del logaritmo, y desharemos el logaritmo al final.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la cotangente como cociente del coseno entre el seno y reducir la resta a común denominador, con lo que aparecerá una indeterminación de cero entre cero. A continuación sustituiremos el numerador y el denominador por sus desarrollos de Maclaurin hasta el orden que decide el límite. Para terminar simplificaremos el cociente y evaluaremos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir la resta a común denominador, convirtiendo el infinito menos infinito en un cociente cero entre cero. A continuación calcularemos los desarrollos de Maclaurin de los dos logaritmos hasta el orden dos, derivando el de la raíz paso a paso desde el desarrollo de la raíz y el del logaritmo. Para terminar restaremos los desarrollos, simplificaremos el cociente y evaluaremos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer la indeterminación uno elevado a infinito que se produce al tender la variable a uno. A continuación aplicaremos el criterio del número e, que convierte la potencia en una exponencial cuyo exponente es un límite mucho más sencillo. Para terminar calcularemos ese exponente, que resulta ser un cociente con cancelación exacta, y leeremos el valor final.

Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar el exponente de la exponencial, que se escapa a más infinito al acercarnos al cero. A continuación acotaremos el módulo del producto para demostrar que también se escapa a infinito, aunque el seno tienda a cero. Para terminar leeremos el signo del seno a cada lado del cero, obtendremos los dos límites laterales y concluiremos si el límite existe.

Para resolver este ejercicio empezaremos por medir el numerador con el límite notable del seno, separando su parte principal de un factor que tiende a uno. A continuación mediremos el denominador en dos capas: primero el logaritmo con su límite notable, y después el coseno con la identidad del ángulo mitad. Para terminar reuniremos las tres mediciones en el cociente completo y pasaremos al límite factor a factor.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir la resta a común denominador, convirtiendo el infinito menos infinito en un cociente de cero entre cero. A continuación desarrollaremos la exponencial por Maclaurin hasta el orden dos y mediremos con ese desarrollo el numerador y el denominador del cociente. Para terminar simplificaremos las potencias, pasaremos al límite y leeremos el valor exacto de la diferencia.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir la resta a común denominador, convirtiendo el infinito menos infinito en un cociente de cero entre cero. A continuación construiremos los desarrollos de Maclaurin del seno y el coseno hiperbólicos desde sus definiciones con exponenciales, hasta el orden que decide la resta. Para terminar restaremos los desarrollos, simplificaremos las potencias y evaluaremos el límite lateral por la derecha.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación que se produce en el origen. A continuación tomaremos logaritmos neperianos para convertir la potencia en un cociente y desarrollaremos el logaritmo del denominador con el desarrollo de la exponencial. Para terminar calcularemos el límite del cociente y desharemos el logaritmo.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación que forman la potencia y el logaritmo. A continuación haremos un cambio de variable exponencial que traslada el problema al infinito y lo convierte en un cociente. Para terminar acotaremos ese cociente con el desarrollo de la exponencial y cerraremos con el criterio del sándwich.

Para resolver este ejercicio empezaremos por trasladar el punto del límite al origen con un cambio de variable y reducir la resta a común denominador. A continuación desarrollaremos el logaritmo hasta el orden dos y construiremos el numerador y el denominador por separado. Para terminar simplificaremos el cociente y evaluaremos el límite.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la tangente y la secante con el seno y el coseno. A continuación simplificaremos el cociente en todo punto distinto del punto límite, donde deja de ser un cociente de infinitos. Para terminar evaluaremos el límite del seno, que es una función continua.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la exponencial con su desarrollo de Maclaurin hasta el orden tres, porque el denominador es cúbico. A continuación construiremos el numerador por piezas, multiplicando y agrupando los términos semejantes. Para terminar dividiremos entre el cubo y evaluaremos el límite.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin del seno en su forma general y aplicarlo a los dos argumentos, el de arriba y el del denominador. A continuación sustituiremos en el numerador y en el denominador, cancelaremos los términos lineales y reuniremos los cúbicos. Para terminar dividiremos los dos términos que mandan y pasaremos al límite.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hacer el cambio de variable que centra el límite en el origen, restando uno a la variable. A continuación reescribiremos el numerador y el radicando del denominador con la variable nueva, que se simplifica mucho. Para terminar desarrollaremos el logaritmo y la raíz hasta el orden dos y dividiremos los términos que mandan.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hacer el cambio de variable que convierte el infinito en el origen, tomando la inversa de la variable. A continuación escribiremos el producto que multiplica al logaritmo con la variable nueva y desarrollaremos el logaritmo hasta el orden tres. Para terminar montaremos el cociente completo, leeremos el término que manda y veremos adónde se va la expresión entera.

Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener los desarrollos de Maclaurin de orden tres de las dos funciones del numerador, construyendo el del seno hiperbólico desde las exponenciales y escribiendo el de la tangente. A continuación haremos lo mismo con el seno y el arcoseno del denominador. Para terminar restaremos en los dos pisos, cancelaremos los términos lineales y dividiremos los coeficientes cúbicos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir los desarrollos de Maclaurin del coseno y del seno, y el desarrollo binomial de la raíz, cada uno en su forma general. A continuación leeremos qué orden manda en cada desarrollo y restaremos en el numerador. Para terminar dividiremos entre el denominador y pasaremos al límite con la propiedad del resto.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el interior del numerador hasta el orden tres, porque después hay que elevarlo al cuadrado. A continuación haremos lo mismo con el interior del denominador, desarrollado hasta el orden dos para elevarlo al cubo. Para terminar reuniremos las dos potencias, que salen ambas de orden seis, y dividiremos sus coeficientes.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el interior del numerador hasta el orden dos, porque al elevarlo al cubo alcanzará el orden seis. A continuación desarrollaremos el interior del denominador hasta el orden tres, para que su cuadrado llegue también al orden seis. Para terminar dividiremos los dos coeficientes de ese orden común.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer la indeterminación: la base tiende a uno y el exponente, a infinito. A continuación aplicaremos el criterio del número e, que traslada todo el trabajo a un único límite dentro del exponente. Para terminar calcularemos ese límite con el límite notable del seno.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar cada sumando del numerador hasta el orden tres, que es el orden del denominador. A continuación restaremos los dos desarrollos y comprobaremos que el término de grado dos se cancela. Para terminar dividiremos entre el cubo y pasaremos al límite.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el numerador hasta el orden tres con los desarrollos de la tangente y del arco tangente. A continuación desarrollaremos los dos logaritmos del denominador, donde manda el término de orden uno. Para terminar compararemos los órdenes y calcularemos el cociente.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el interior del numerador hasta el orden tres, porque los términos menores se cancelan y todo se decide ahí. A continuación desarrollaremos la raíz cúbica del denominador hasta el orden dos. Para terminar elevaremos a las potencias pedidas, que igualan ambos lados en el orden seis, y dividiremos los coeficientes.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir la resta a común denominador. A continuación desarrollaremos el seno hasta el orden tres para medir el numerador, y multiplicaremos ese mismo desarrollo por el cuadrado de la variable para medir el denominador. Para terminar dividiremos los coeficientes del orden tres.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir la resta a común denominador. A continuación desarrollaremos el logaritmo y el seno hasta el orden dos para medir el numerador, y multiplicaremos los dos desarrollos para medir el denominador. Para terminar dividiremos los coeficientes del orden dos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el logaritmo hasta el orden dos y multiplicarlo por el factor que lo acompaña, para medir el numerador. A continuación desarrollaremos la exponencial hasta el orden dos para medir el denominador. Para terminar dividiremos los coeficientes del primer orden que sobrevive en cada lado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula de Taylor con el resto de Lagrange en su forma general. A continuación calcularemos la derivada tercera del seno y la acotaremos en cualquier punto del intervalo. Para terminar mediremos la distancia máxima desde el intervalo al centro y compondremos la cota numérica del error.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el cuadrado del coseno con la identidad del ángulo doble, que lo convierte en un coseno sencillo de desarrollar. A continuación escribiremos el desarrollo de Taylor de ese coseno con su resto de Lagrange, y de ahí saldrán el polinomio aproximante y la expresión exacta del error. Para terminar acotaremos ese resto en todo el intervalo y compararemos con la cota pedida.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin de la exponencial con su resto de Lagrange y evaluarlo en un medio. A continuación acotaremos ese resto con una cota sencilla del número e y buscaremos el menor orden que garantiza el error pedido. Para terminar sumaremos los términos uno a uno hasta obtener la aproximación.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin del logaritmo y comprobar que, con este argumento, la serie es alternada con términos decrecientes. A continuación aplicaremos el criterio de Leibniz, que acota el error por el primer término que se omite, para decidir cuántos términos necesitamos. Para terminar calcularemos la suma de esos términos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin del arco tangente, válido para los dos argumentos de la identidad de Machin. A continuación calcularemos cada arco tangente con los términos que pida su tamaño: tres para el quinto y uno solo para el de doscientos treinta y nueve. Para terminar combinaremos los dos valores en la identidad, acotaremos el error total y despejaremos pi.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general de la serie y escribir también el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert entre coeficientes consecutivos y simplificaremos los factoriales y los productos de impares que se repiten. Para terminar calcularemos el límite de ese cociente y obtendremos el radio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por separar la potencia de la variable y quedarnos con el coeficiente general de la serie. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert entre cada coeficiente y el siguiente, abriendo los factoriales y las potencias para tachar todo lo que se repite. Para terminar calcularemos el límite del cociente simplificado y obtendremos el radio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar el coeficiente general de la serie y escribir también el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert y simplificaremos por separado las potencias de cada base y el factor racional. Para terminar calcularemos el límite del cociente simplificado y obtendremos el radio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar el coeficiente general de la serie y escribir también el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert y lo separaremos en dos factores, uno racional y otro de logaritmos. Para terminar calcularemos el límite de cada factor por separado y multiplicaremos los dos resultados.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el coeficiente binomial en su forma factorial y por escribir también el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert y abriremos los factoriales nuevos para tachar todo lo que se repite. Para terminar calcularemos el límite del cociente simplificado y obtendremos el radio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar el coeficiente general de la serie y escribir también el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert y simplificaremos por separado la potencia de base dos y el factor racional. Para terminar calcularemos el límite del cociente simplificado y obtendremos el radio.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general y quedarnos con su valor absoluto, porque el signo alternado no influye en el radio. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert entre cada coeficiente y el siguiente, simplificando las potencias de base cuatro y los cuadrados. Para terminar calcularemos el límite de ese cociente, que es el radio buscado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general y el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert entre ambos y lo agruparemos bajo una única raíz cuadrada. Para terminar calcularemos el límite de ese cociente, que es el radio buscado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general, que es un factorial, y el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert entre ambos y simplificaremos la división entre factoriales consecutivos. Para terminar calcularemos el límite de ese cociente y veremos qué significa un radio igual a cero.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general y el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert entre ambos, simplificando por separado los factoriales y las potencias de base dos. Para terminar calcularemos el límite de ese cociente y veremos qué significa un radio infinito.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general y el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert entre ambos y lo agruparemos bajo una única raíz cuadrada, normalizando la fracción interior. Para terminar calcularemos el límite de ese cociente, que es el radio buscado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente de la serie y escribir también el coeficiente siguiente. A continuación formaremos el cociente de D'Alembert y lo simplificaremos separando las potencias de dos y el cociente de los índices. Para terminar tomaremos el límite cuando el índice tiende a infinito, y ese límite será el radio buscado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el denominador como el cuadrado de la resta dada la vuelta y por obtener la serie de ese inverso cuadrático derivando la serie geométrica. A continuación multiplicaremos esa serie por el numerador y reuniremos los coeficientes de cada potencia. Para terminar cerraremos el desarrollo con su término general y fijaremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer la constante como factor común dentro del logaritmo, para dejarlo en la forma de logaritmo de uno más una variable. A continuación aplicaremos a esa variable el desarrollo de Maclaurin del logaritmo y reuniremos el resultado con el término constante. Para terminar traduciremos la condición de validez al intervalo de la variable original.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el ocho como factor común dentro de la raíz, para escribir la función como el doble de una potencia de exponente un tercio. A continuación aplicaremos la serie binomial generalizada con ese exponente y con la variable dividida entre ocho. Para terminar reuniremos el desarrollo y fijaremos su intervalo, extremos incluidos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por linealizar el cuadrado del coseno con la identidad del ángulo doble, que lo convierte en una constante más un coseno sencillo. A continuación sustituiremos en ese coseno su desarrollo de Maclaurin, aplicado al doble de la variable. Para terminar reagruparemos los coeficientes y fijaremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la fracción de modo que el denominador adopte la forma de la serie geométrica. A continuación desarrollaremos esa serie con su condición de convergencia y multiplicaremos por el numerador. Para terminar escribiremos los primeros términos y precisaremos el intervalo exacto de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener el desarrollo de la inversa del cuadrado a partir de la serie geométrica, derivándola término a término. A continuación sustituiremos la variable por su cuadrado y distribuiremos el numerador sobre la serie obtenida. Para terminar reuniremos los coeficientes de las potencias pares e impares y fijaremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división del numerador entre el denominador para separar la parte entera. A continuación reescribiremos la fracción restante con el denominador en la forma de la serie geométrica y la desarrollaremos. Para terminar combinaremos la parte entera con la serie y fijaremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la forma general de una serie de potencias centrada en el origen. A continuación compararemos el polinomio dado con esa forma para identificar sus coeficientes uno a uno. Para terminar deduciremos su intervalo de validez a partir de que la suma es finita.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar el arco seno y escribir su derivada como una potencia de exponente fraccionario. A continuación desarrollaremos esa derivada con la serie binomial generalizada y la integraremos término a término, fijando la constante con el valor en el origen. Para terminar escribiremos los primeros términos y estudiaremos el intervalo de validez, extremos incluidos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el nueve como factor común del denominador, hasta dejar la fracción con la forma de una serie geométrica. A continuación desarrollaremos esa serie geométrica y multiplicaremos el resultado por el numerador. Para terminar estudiaremos dónde converge la serie resultante y qué ocurre en los extremos del intervalo.

Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el logaritmo del cociente en una resta de dos logaritmos. A continuación desarrollaremos cada uno de ellos con su serie de Maclaurin y sumaremos las dos series término a término. Para terminar comprobaremos qué términos sobreviven a la suma y fijaremos el intervalo en el que el desarrollo es válido.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz cuadrada como una potencia de exponente un medio, con lo que la función adopta la forma de un binomio elevado a un exponente real. A continuación aplicaremos la serie binomial generalizada y calcularemos su coeficiente general con dobles factoriales. Para terminar escribiremos los primeros términos y estudiaremos el intervalo de validez, extremos incluidos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función como un monomio por una potencia de exponente menos un medio. A continuación desarrollaremos esa potencia con la serie binomial generalizada, calculando su coeficiente general con factoriales, y multiplicaremos la serie por el monomio. Para terminar escribiremos los primeros términos y estudiaremos el intervalo de validez, con un extremo que se incluye y otro que no.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la serie de Maclaurin del logaritmo neperiano de uno menos una variable. A continuación sustituiremos esa variable por el doble de la nuestra y escribiremos el término general y los primeros términos. Para terminar determinaremos el intervalo de convergencia, estudiando los dos extremos por separado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por el factor que convierte el denominador en una diferencia de cubos con la forma de la serie geométrica. A continuación aplicaremos la serie geométrica con la razón cúbica y distribuiremos el factor del numerador sobre la serie obtenida. Para terminar escribiremos los primeros términos, el patrón de los coeficientes y el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la fracción racional con la serie geométrica, cuidando el signo que nace al ordenarla en la forma adecuada. A continuación desarrollaremos el seno con su serie de Maclaurin, la multiplicaremos por el cuadrado de la variable y sumaremos ambos desarrollos término a término. Para terminar intersectaremos los intervalos de validez de los dos sumandos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la fracción como el producto de la variable por un inverso con la forma de la serie geométrica de razón cambiada de signo. A continuación multiplicaremos la serie término a término por la variable y cambiaremos el índice para que la serie empiece en el grado uno. Para terminar escribiremos los primeros términos y estudiaremos el intervalo, extremos incluidos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar el arco tangente y desarrollar su derivada con la serie geométrica de razón igual al cuadrado cambiado de signo. A continuación integraremos término a término entre cero y el valor dado, fijando la constante con el valor del arco tangente en el cero. Para terminar estudiaremos el intervalo, con atención especial a los dos extremos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sacar el cuatro como factor común del denominador, para dejar dentro la forma uno menos algo que pide la serie geométrica. A continuación aplicaremos la serie geométrica con la nueva razón y multiplicaremos por el factor que quedó fuera. Para terminar escribiremos los primeros términos y calcularemos el radio y el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función, porque su derivada se simplifica de una forma sorprendente y queda una potencia sencilla de desarrollar. A continuación aplicaremos la serie binomial a esa derivada y obtendremos su desarrollo en potencias pares. Para terminar integraremos término a término para recuperar la función y estudiaremos qué ocurre en los extremos del intervalo.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin de la exponencial con el signo cambiado en el exponente. A continuación multiplicaremos esa serie por el binomio y agruparemos las aportaciones que recibe cada potencia. Para terminar cerraremos el coeficiente general en una sola fórmula y determinaremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el denominador como uno menos una cantidad negativa, que es la forma que reconoce la serie geométrica. A continuación desarrollaremos la potencia de la razón término a término y escribiremos los primeros términos del desarrollo. Para terminar leeremos el radio de convergencia de la condición de validez y miraremos los dos extremos uno a uno.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz como una potencia de exponente un medio, que es la forma que reconoce la serie binomial. A continuación aplicaremos esa serie con la variable auxiliar igual al cubo de la nuestra, calculando los coeficientes desde la fórmula general. Para terminar escribiremos los primeros términos y estudiaremos el intervalo completo, extremos incluidos, con el criterio de Raabe.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir los desarrollos de Maclaurin del seno y del coseno. A continuación multiplicaremos el desarrollo del coseno por la variable y restaremos las dos series potencia a potencia. Para terminar simplificaremos el coeficiente general en una sola fracción y leeremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la serie de Maclaurin de la exponencial y sustituir en ella el argumento de nuestro integrando. A continuación integraremos la serie término a término entre los dos extremos de la integral, calculando la integral de cada potencia. Para terminar reuniremos el desarrollo y determinaremos su intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la serie de Maclaurin de la función seno. A continuación dividiremos la serie completa entre la variable, rebajando en una unidad el exponente de cada término, y comprobaremos que el valor en el origen coincide con la extensión dada. Para terminar fijaremos el intervalo de validez del desarrollo.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la serie de Maclaurin de la exponencial con argumento doble. A continuación multiplicaremos la serie por el polinomio, separando el producto en dos sumas, y desplazaremos el índice de una de ellas para alinear las potencias. Para terminar reuniremos el coeficiente general y fijaremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por centrar la expresión en el punto que pide el enunciado, con un cambio de variable que convierte la distancia a ese punto en la nueva variable. A continuación sacaremos como factor común la constante no nula del denominador, para dejar dentro la forma que pide la serie geométrica, y aplicaremos esa serie. Para terminar desharemos el cambio y fijaremos el intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por centrar la expresión con un cambio de variable y reescribir el radicando sacando como factor común su valor en el centro, hasta dejar dentro la forma uno más algo. A continuación aplicaremos la serie binomial generalizada con exponente un medio y escribiremos los primeros términos. Para terminar determinaremos el radio y estudiaremos los dos extremos del intervalo.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hacer el cambio de variable que centra el desarrollo en pi, con lo que el argumento del seno quedará desfasado tres pi medios. A continuación transformaremos ese seno desfasado en un coseno aplicando la identidad del seno de una suma, y sustituiremos el desarrollo de Maclaurin del coseno. Para terminar escribiremos la serie en potencias de la distancia al centro y determinaremos su intervalo de validez.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hacer el cambio de variable que centra el desarrollo en el dos. A continuación desarrollaremos por separado el término logarítmico y la fracción, cada uno con su serie centrada en el origen respecto de la nueva variable. Para terminar sumaremos los coeficientes de ambas series e intersecaremos sus dominios de convergencia.

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la suma de la serie como una función y derivarla término a término dentro de su intervalo de convergencia, hasta obtener una serie geométrica. A continuación sumaremos esa geométrica y descompondremos la función racional resultante en fracciones simples. Para terminar integraremos entre cero y el punto, usando que la suma en el cero vale cero, y recuperaremos la igualdad pedida.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función, porque su derivada se simplifica hasta una forma que sí admite un desarrollo conocido. A continuación desarrollaremos esa derivada con la serie binomial y la integraremos término a término para recuperar el desarrollo de la función. Para terminar leeremos las derivadas de orden mil y mil uno en los coeficientes, usando la relación de Taylor.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función, porque su derivada se simplifica hasta una fracción con una estructura muy sencilla. A continuación la desarrollaremos como serie geométrica de potencias cuartas y la integraremos término a término para recuperar el desarrollo de la función. Para terminar leeremos las derivadas de orden mil y mil uno en los coeficientes, usando la relación de Taylor.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función y simplificar su derivada hasta dejarla como una potencia de exponente fraccionario. A continuación desarrollaremos esa derivada en serie de potencias con la serie binomial y la integraremos término a término para obtener el desarrollo de la función. Para terminar leeremos en los coeficientes las dos derivadas pedidas en el origen.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer qué función es en realidad esta, interpretando el cociente interior con un ángulo cuyo tangente es la propia variable. A continuación escribiremos el desarrollo de Maclaurin de la función reconocida, derivándola primero y expandiendo su derivada como serie geométrica. Para terminar leeremos en los coeficientes las derivadas de orden mil y mil uno en el origen.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función término a término y sumar las tres derivadas con denominador común hasta ver en qué se reduce el conjunto. A continuación expandiremos esa derivada como serie geométrica de potencias cúbicas y la integraremos término a término, fijando la constante con el valor en el origen. Para terminar decidiremos qué órdenes tienen coeficiente y leeremos las dos derivadas pedidas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función con la regla de la arcotangente compuesta y la del cociente, simplificando hasta el final. A continuación compararemos esa derivada con la de la arcotangente ordinaria y fijaremos la constante que las separa con el valor en el origen, para escribir después el desarrollo en serie. Para terminar leeremos en los coeficientes las derivadas de orden mil y mil uno.

Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el término general en dos fracciones que simplifican el factorial del denominador. A continuación trataremos cada serie por separado: la primera se reordenará sacando un factor \( x \) y cambiando el índice, y la segunda se reconocerá directamente. Para terminar sumaremos las dos funciones obtenidas y determinaremos el conjunto de valores donde la serie converge.

Para resolver este ejercicio empezaremos por juntar el denominador con la potencia y escribir la serie con la variable \( u \) igual a \( x \) partido por cinco. A continuación derivaremos dos veces la serie geométrica para sumar los tres órdenes que aparecen en el coeficiente, y combinaremos las tres sumas en una sola fracción. Para terminar restituiremos la variable \( x \) y miraremos los extremos del intervalo para cerrar el conjunto de convergencia.

Para resolver este ejercicio empezaremos por juntar el denominador con la potencia y escribir la serie con la variable \( u \) igual a \( x \) partido por tres. A continuación separaremos el coeficiente en la serie geométrica y en su derivada, y sumaremos las dos en una sola fracción. Para terminar restituiremos la variable \( x \) y miraremos los extremos del intervalo para cerrar el conjunto de convergencia.

Para resolver este ejercicio empezaremos por juntar el denominador con la potencia y escribir la serie con la variable \( u \) igual a \( x \) partido por dos. A continuación derivaremos dos veces la serie geométrica para sumar los tres órdenes que aparecen en el coeficiente, y combinaremos las tres sumas en una sola fracción. Para terminar restituiremos la variable \( x \) y miraremos los extremos del intervalo para cerrar el conjunto de convergencia.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el numerador en la base de los factoriales descendentes, que son los que el denominador puede cancelar. A continuación simplificaremos cada factorial y reconoceremos la serie de la exponencial en las tres componentes. Para terminar sumaremos las tres funciones y cerraremos el conjunto de convergencia con el criterio del cociente.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el numerador en la base de los factoriales descendentes, que son los que el denominador puede cancelar. A continuación simplificaremos cada factorial y reconoceremos la serie de la exponencial en las tres componentes. Para terminar sumaremos las tres funciones y cerraremos el conjunto de convergencia con el criterio del cociente.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el numerador en la base que el factorial simplifica, descomponiendo el polinomio con el producto ene por ene menos uno. A continuación separaremos la serie en tres series y reconoceremos en cada una la exponencial con el índice desplazado. Para terminar sumaremos las tres funciones obtenidas y determinaremos con el criterio del cociente el conjunto de valores donde la serie converge.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Expresamos la función como producto de un polinomio por la serie exponencial de Maclaurin para agrupar las potencias y extraer la derivada de orden superior mediante el coeficiente de Taylor.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Factorizamos la constante dentro del argumento del logaritmo para aplicar la serie de Maclaurin estándar y deducir la derivada de orden superior mediante el coeficiente correspondiente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Desarrollamos el término logarítmico en serie de Maclaurin para cancelar el término lineal y deducir las derivadas de orden superior mediante la fórmula de Taylor.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Descomponemos el polinomio del numerador en factoriales descendentes para simplificar los denominadores y expresar la suma mediante la función exponencial y sus derivadas.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Factorizamos la constante 9 dentro del argumento para expresar la función mediante la serie geométrica integrada y obtener la derivada mediante el término correspondiente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Definimos la variable auxiliar u = x/2 para calcular la suma derivando sucesivamente la serie geométrica fundamental y agrupando los términos racionales.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Desarrollamos los términos logarítmico y trigonométrico inverso por separado en series de potencias impares y cancelamos los términos alternantes para obtener la serie resultante.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Aplicamos el teorema del binomio de Newton para exponente fraccionario menos un medio y multiplicamos por el factor x para obtener la serie y su derivada de orden2023., a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Derivamos la función para demostrar que coincide con la derivada del arco tangente ordinario, integramos la serie geométrica y calculamos la derivada pedida.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por Efectuamos un cambio de variable para centrar el desarrollo en el punto x = 1, aplicamos la serie geométrica y deducimos la derivada de orden mil.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la función en términos de la variable desplazada x menos a. A continuación utilizaremos el desarrollo en serie geométrica o de Taylor conocido para obtener la serie de potencias centrada en el punto deseado y su radio de convergencia. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la función logarítmica en suma de logaritmos canónicos. A continuación desarrollaremos en serie de potencias e identificaremos el coeficiente general con la fórmula de Taylor para deducir el valor exacto de la derivada n-ésima. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el radio de convergencia de la serie entera. A continuación relacionaremos la serie con la derivada o primitiva de una función elemental conocida para obtener la expresión analítica de su suma exacta. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.