Ejercicios · Problemas de examen

Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{x}{6e^{4x}} - \frac{1}{24e^{4x}}\)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de \( x \), indicando de forma justificada su radio de convergencia.
(
b) Calcular el valor exacto de la derivada de orden 2025 en el origen, \( f^{(2025)}(0) \)

Dada la función real de variable real:
\( f(x) = -3\ln(2 - x^2) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias centrada en el origen, indicando su radio de convergencia.
(
b) Calcular el valor de la derivada de orden 2024 evaluada en el origen, \( f^{(2024)}(0) \)

Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{2x}{3} - \frac{2}{9}\ln(3x+1) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de \( x \), determinando su radio de convergencia.
(
b) Calcular razonadamente el valor de \( f^{(201)}(0) \) y \( f^{(202)}(0) \)

Calcular la suma en forma cerrada de la serie de potencias:
\( S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n^2 - 1}{n! } x^n \)
determinando de forma justificada su radio de convergencia.

Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \ln(9 + x^2) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de \( x \), determinando su intervalo de convergencia.
(
b) Calcular el valor exacto de la derivada de orden 2022 en el origen, \( f^{(2022)}(0) \)

Hallar en forma cerrada la suma de la serie de potencias:
\( S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + 2n - 1}{2^n} x^n \)
indicando de forma justificada su radio de convergencia.

Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{1}{4}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \frac{1}{2}\arctan x \)
Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de Maclaurin centrada en el origen e indicar su radio de convergencia.

Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{x}{\sqrt{9 + x^2}}\)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de Maclaurin indicando su radio de convergencia.
(
b) Calcular razonadamente el valor de la derivada \( f^{(2023)}(0) \)

Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \arctan\left(\frac{x+1}{1-x}\right) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias centrada en el origen, indicando de forma justificada su radio de convergencia.
(
b) Calcular el valor de la derivada de orden 2019 en el origen, \( f^{(2019)}(0) \)

Dada la función racional elemental:
\( f(x) = \frac{1}{1 + 2x}\)
(
a) Hallar el desarrollo en serie de potencias de \((x - 1) \) de la función \( f(x) \)
(
b) Determinar el intervalo de convergencia del desarrollo obtenido.
(
c) Deducir el valor exacto de la derivada de orden mil evaluada en uno, \( f^{(1000)}(1) \)

Dadas las siguientes cuestiones sobre funciones y desarrollos en serie de potencias:
a) Desarrollar la función \( f(x) = \sqrt{2 + x} \) en serie de potencias centrada en \( (x - 3) \), determinando de forma justificada su intervalo de validez y radio de convergencia.
b) Utilizar el teorema de Taylor para aproximar, mediante un polinomio de grado 4, el valor de \( \sqrt[3]{e} \)

Dada la función:

\( f(x) = -3 \log(2 - x^2) \)
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias centrada en el origen, indicando su radio de convergencia.
b) Calcular el valor exacto de la derivada de orden 2024 en el origen: \( f^{(2024)}(0) \)

Dada la serie de potencias:

\( S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n^2 - 1}{n! } x^n \)
a) Determinar su radio de convergencia.
b) Calcular su función suma explícita en términos de funciones elementales.