Calcular la siguiente integral impropia probando previamente que es convergente:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto de discontinuidad en el extremo superior y evaluaremos el límite de la integral definida mediante la función arco seno.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia probando previamente su convergencia:
\(\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo superior y calcularemos la primitiva inmediata de tipo casi-inmediata o potencial.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito con constantes positivas a y b:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{a^2+b^2x^2} \quad (a, b > 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el denominador para identificar la derivada del arco tangente y calcularemos el límite cuando el extremo superior tiende a más infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia probando previamente su convergencia:
\(\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo superior tres y calcularemos el límite de la primitiva arco seno escalada.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que racionaliza el denominador y demostraremos que la integral se anula por antisimetría bajo inversión.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar un cambio de variable logarítmico para convertirla en una integral de potencias inmediata y evaluaremos el límite en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral de arco seno entre cero y uno:
\(\int_{0}^{1} \operatorname{arcsen} x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar por partes para obtener la primitiva de la función arco seno y aplicaremos la regla de Barrow.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en toda la recta real:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+2x+2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar cuadrados en el trinomio del denominador para identificar una función arco tangente desplazada y calcularemos los límites en ambos extremos infinitos.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primitiva de la función oscilatoria amortiguada mediante doble integración por partes y evaluaremos el límite al infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \frac{\log x}{\sqrt{1-x}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que racionaliza el denominador y resolveremos la integral resultante mediante integración por partes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la sustitución trigonométrica estándar para eliminar el radical y resolveremos la integral trigonométrica resultante.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primitiva mediante doble integración por partes y evaluaremos los límites para obtener el valor analítico de la transformada de Laplace.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \log x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el límite impropio en el extremo cero y calcularemos su valor mediante la primitiva logarítmica estándar.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los dos puntos singulares en uno y en infinito y utilizaremos una sustitución trigonométrica o de inversión para obtener la primitiva.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la sustitución trigonométrica estándar sobre el intervalo simétrico y resolveremos la integral trigonométrica resultante.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \log^2 x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral impropia en el origen y calcularemos su valor exacto aplicando dos veces consecutivas la integración por partes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo inferior cero y evaluaremos la primitiva de la función potencia.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia con singularidad interior en el origen:
\(\int_{-1}^{8} \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la singularidad se encuentra en el punto interior cero, descomponiendo la integral en dos sumandos y evaluando cada límite por separado.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como el límite de la integral definida en un intervalo acotado y evaluaremos la función exponencial en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en la recta real completa:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la simetría impar de la función integrando y verificaremos su convergencia absoluta calculando la primitiva elemental.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Analizar la convergencia y calcular, si procede, la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{4} \frac{dx}{(4-x)^{3/2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo superior cuatro y evaluaremos el límite de la primitiva para determinar si converge o diverge.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} x \log x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el límite impropio en el extremo cero y calcularemos la primitiva aplicando la fórmula de integración por partes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} x^3 e^{-x} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar la integral con la función Gamma de Euler o aplicar integración por partes reiterada para obtener el valor factorial correspondiente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado simétrico:
\(\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las singularidades en ambos extremos y aprovecharemos la simetría par del integrando para calcular su valor exacto.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito negativo:
\(\int_{-\infty}^{0} \frac{dx}{(4-x)^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el límite impropio en menos infinito y calcularemos la primitiva inmediata de tipo potencial.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la derivada de la raíz cuadrada aparece en el denominador y calcularemos la primitiva casi inmediata.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia y calcular, si procede, la siguiente integral impropia:
\(\int_{-\infty}^{6} \frac{dx}{(4-x)^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la presencia de puntos singulares en el interior del intervalo de integración y analizaremos la convergencia en torno al polo.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular el área de la superficie, en el primer cuadrante, comprendida entre la curva de ecuación y^2 = x^4 / (4 - x^2), su asíntota vertical y el eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la función explícita en el primer cuadrante, identificaremos la asíntota vertical y calcularemos el área mediante una integral impropia con sustitución trigonométrica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular el área total de la región simétrica comprendida entre la curva de ecuación y^2 = (4 - x) / x y su asíntota vertical.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de definición de la curva, identificaremos su asíntota vertical en el origen y calcularemos el área total duplicando el área de la rama superior.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y = 8 / (4 + x^2) y su asíntota horizontal en toda la recta real.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la asíntota horizontal en el infinito y calcularemos la integral impropia en toda la recta real mediante la primitiva del arco tangente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular el área de la superficie, en el primer cuadrante, comprendida entre la curva de ecuación y = x e^(-x^2/2) y su asíntota horizontal.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la asíntota horizontal de la función en el infinito y calcularemos la integral impropia mediante una primitiva exponencial casi inmediata.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la longitud total del lazo cerrado de la curva de ecuación 9y^2 = x^2(2x + 3).
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos de corte de la curva con los ejes para delimitar el lazo cerrado y calcularemos la longitud mediante la fórmula del arco de curva diferenciable.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la longitud total de la curva cerrada del astroide de ecuación x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3), con parámetro a estrictamente positivo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar el astroide mediante funciones trigonométricas y calcularemos la longitud total cuadruplicando la longitud del arco del primer cuadrante.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la longitud total del lazo cerrado de la curva de ecuación y^2 = x(3 - x)^2.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos de corte de la curva con los ejes para delimitar el lazo cerrado y evaluaremos la integral de la longitud de arco.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Consideramos la superficie comprendida entre la curva de hipérbola equilátera xy = 1, el eje OX y la recta vertical x = 1 en el intervalo infinito [1, +infinito). Demostrar que su área es infinita.
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la integral impropia de primera especie que representa el área bajo la hipérbola y evaluaremos el límite de la primitiva logarítmica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región comprendida entre la curva xy = 1, el eje OX y la recta x = 1 alrededor del eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de los discos circulares para el volumen de revolución alrededor del eje de abscisas y calcularemos la integral impropia de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar el recinto plano comprendido entre la curva y = e^(-|x|) y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación (1 + x)y^2 = 1 - x y su asíntota vertical.
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la ecuación explícita de la curva, identificaremos su asíntota vertical en x igual a menos uno y calcularemos el área mediante sustitución trigonométrica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Hallar el área total de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y^2 = x^2 / (1 - x^2) y sus dos asíntotas verticales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las dos asíntotas verticales en x igual a más y menos uno y calcularemos el área total aprovechando la doble simetría par de la curva.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y = 1 / (x^2 - 1), la recta vertical x = 3 y el eje OX en el semieje no acotado [3, +infinito).
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que no existen singularidades en el intervalo considerado y calcularemos el área mediante descomposición en fracciones simples y paso al límite en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva y = e^(-2x), el eje OX y el eje OY en el primer cuadrante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por delimitar el intervalo de integración a partir de los ejes de coordenadas y evaluaremos la integral impropia exponencial de primera especie.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Hallar el volumen del sólido que engendra la superficie comprendida entre la curva y = e^(-2x), el eje OX y el eje OY al girar entorno al eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de los discos para sólidos de revolución alrededor del eje de abscisas y evaluaremos la integral impropia resultante.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el tipo de integral impropia y los puntos conflictivos del intervalo de integración, analizando a continuación el comportamiento asintótico del integrando para aplicar un criterio de comparación adecuado. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.
Determinar si converge la siguiente integral impropia de segunda especie:
\(\int_{0}^{\pi/4} x^{-1/3} \cos x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por localizar la singularidad del integrando en el intervalo de integración y utilizar un criterio de comparación por paso al límite con una integral de Riemann de referencia.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto de discontinuidad infinita en el extremo superior y calcular directamente el límite de la integral definida mediante su primitiva elemental.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \log^2 x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y evaluaremos la convergencia calculando la primitiva mediante integración por partes reiterada y aplicando la regla de L'Hôpital al límite.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico de la función integrando cuando equis tiende a infinito y aplicaremos el criterio de comparación por cociente con una p-integral de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar el crecimiento asintótico del logaritmo frente a potencias algebraicas para establecer una cota superior con una p-integral convergente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la convergencia absoluta del integrando utilizando las propiedades de acotación de la función seno trigonométrica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo abierto en el origen:
\(\int_{0}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{x} |\log x|}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el origen, comprobando que el logaritmo tiende a infinito y aplicando el criterio de comparación con una p-integral de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente:
\(\int_{0}^{1} e^{x} x^{-1/4} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo cero y acotaremos la función exponencial mediante su valor máximo en el intervalo compacto de integración.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar en serie de Taylor la función seno en torno a cero para hallar su infinitésimo equivalente y compararla con una integral de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Determinar si converge la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x^{1/4}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y calcularemos su valor exacto mediante la técnica de integración por partes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el origen y aplicar el criterio de comparación por paso al límite con una integral de Riemann estándar.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente y hallar su valor:
\(\int_{0}^{1} \log x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir formalmente la integral impropia de segunda especie en el extremo inferior cero y evaluaremos su primitiva inmediata mediante paso al límite.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo inferior equis igual a uno y utilizaremos el desarrollo en serie de Taylor del logaritmo para determinar el orden de convergencia.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que no existen singularidades en el intervalo cerrado de integración y analizaremos el comportamiento asintótico en el infinito comparándolo con una p-integral convergente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^4+x+1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el polinomio del denominador no posee raíces reales positivas y aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con una p-integral de grado cuatro en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la integral en dos integrales impropias, una con singularidad en cero y otra en el infinito, analizando la convergencia independiente de cada una.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia simétrica:
\(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las singularidades en ambos extremos del intervalo de integración y calcularemos los límites de las primitivas en las dos subdivisiones.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el radicando para aislar los puntos singulares en ambos extremos cero y uno, analizando la convergencia en cada uno mediante comparación asintótica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4-1}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que existen dos singularidades: en el extremo inferior equis igual a uno y en el límite superior infinito, subdividiendo el intervalo y aplicando criterios de comparación en cada extremo.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{\cosh x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el coseno hiperbólico en su definición exponencial y calcularemos la primitiva explícita de la función mediante un cambio de variable estándar.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los dos puntos impropios en cero y en más infinito, descomponiendo la integral en dos intervalos y aplicando criterios de comparación asintótica en cada extremo.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{e^{2x}-3}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que no existen ceros del denominador en el intervalo de integración y aplicaremos el criterio de comparación asintótica en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(e^x-1)^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad de la función en el intervalo y aplicaremos una comparación asintótica con la función exponencial decreciente en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar la convergencia de la integral impropia de Euler-Gauss:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la integral en el intervalo compacto cero a uno y el intervalo infinito uno a más infinito, acotando la exponencial cuadrática por una exponencial lineal decreciente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3-1}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los dos puntos singulares en el extremo inferior uno y en el infinito, subdividiendo el intervalo y aplicando criterios de comparación asintótica en cada tramo.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \log x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la convergencia absoluta del integrando, acotando la función trigonométrica seno por la unidad y comparando con la integral del logaritmo natural.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-(x^2+x-2)} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la constante exponencial independiente y acotar la función integrando mediante la campana de Gauss en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia en la recta real completa:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aprovechar la simetría par del integrando en toda la recta real y aplicaremos la técnica de integración por partes para relacionarla con la integral de Gauss.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito negativo:
\(\int_{-\infty}^{-1} \frac{dx}{1+x^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral impropia como el límite cuando el extremo inferior tiende a menos infinito y calcularemos su valor exacto mediante la primitiva del arco tangente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{9+x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el orden de magnitud del integrando cuando equis tiende a más infinito y aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con una p-integral de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{2}^{4} \frac{dx}{\sqrt{-x^2+6x-8}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el trinomio bajo el radical para identificar los puntos de indeterminación en ambos extremos del intervalo y calcularemos la primitiva completando cuadrados.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo no acotado:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como el límite de la integral definida en un intervalo acotado y calcularemos su valor exacto mediante la primitiva del arco tangente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad en el intervalo de integración y calcularemos su valor analítico exacto mediante descomposición en fracciones simples.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el denominador es estrictamente positivo en todo el dominio y acotaremos la fracción racional por la unidad.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{2}^{+\infty} e^{-x^3} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar el crecimiento del exponente cúbico con una función exponencial lineal en el intervalo considerado.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la convergencia absoluta del integrando en ambos extremos infinitos y utilizaremos la propiedad de simetría impar de la función.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad de la función en el intervalo cerrado de integración y analizaremos su comportamiento asintótico en el infinito comparándola con la integral armónica divergente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la convergencia absoluta del integrando en el intervalo infinito y acotaremos la función coseno por la unidad.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y utilizaremos el criterio de comparación por paso al límite con una integral de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3-4x^2+4x}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el radicando cúbico para localizar la posición de las singularidades y analizaremos el orden del polo en el extremo superior.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{x}(3+x)}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo inferior cero y aplicaremos el criterio de comparación asintótica con una p-integral de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x+e^x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad de la función en todo el intervalo y acotaremos el integrando mediante la función exponencial decreciente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo superior uno y aplicaremos el criterio de comparación asintótica con una integral de Riemann.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente y calcular su valor exacto:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la integral en dos intervalos simétricos debido a la presencia del valor absoluto y calcularemos su valor exacto mediante las primitivas elementales.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito es divergente:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x+1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como el límite de la integral definida en un intervalo acotado y calcularemos su valor mediante la primitiva logarítmica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Probar que la siguiente integral impropia es divergente:
\(\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{\log x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar la función logaritmo mediante una función lineal para aplicar el criterio de comparación con la integral armónica divergente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo acotado es divergente:
\(\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{x} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con la función armónica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Probar que la siguiente integral impropia en el intervalo acotado es divergente:
\(\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{cotg} x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto impropio en el extremo cero y calcularemos el límite de la primitiva exacta de la cotangente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo acotado es divergente:
\(\int_{0}^{\pi/2} \sec x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo superior pi medios y evaluaremos el límite de la primitiva elemental de la función secante.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Probar que la siguiente integral impropia de segunda especie es divergente:
\(\int_{0}^{1/2} \frac{dx}{x \log x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación en el origen y calcularemos la primitiva inmediata mediante un cambio de variable logarítmico.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y calcularemos la primitiva inmediata identificando la derivada del denominador en el numerador.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito es divergente por oscilación:
\(\int_{0}^{+\infty} \operatorname{sen} x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral impropia de primera especie como el límite de la integral sobre un intervalo finito y demostraremos que dicho límite no existe debido a la oscilación periódica del coseno.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Probar que la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito es divergente:
\(\int_{0}^{+\infty} x \operatorname{sen} x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primitiva mediante el método de integración por partes y demostraremos que el límite cuando el extremo superior tiende a infinito oscila con amplitudes crecientes ilimitadas.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral definida mediante funciones eulerianas o cambio de variable inmediato:
\(\int_{0}^{\pi/2} (\log(\operatorname{sen} x))^8 \cos x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar un cambio de variable trigonométrico que transforme la integral en una integral tipo Gamma para la función logaritmo.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral definida en el intervalo unidad utilizando las funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el radicando para expresarlo en la forma estándar de la función Beta de Euler y utilizaremos la relación entre Beta y Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito utilizando funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar un cambio de variable algebraico que transforme el denominador en la segunda forma estándar de la función Beta y aplicaremos la fórmula de reflexión de Euler.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que convierte el término potencial en una variable lineal y expresaremos el resultado mediante la función Beta y la función Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito para un parámetro n estrictamente mayor que cuatro utilizando funciones eulerianas:
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable que normalice el denominador y utilizaremos la representación de la función Beta en intervalo no acotado junto con la fórmula de reflexión.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el argumento logarítmico mediante un cambio de variable exponencial y lo identificaremos con la definición estándar de la función Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable que linealice el exponente y expresaremos el resultado en términos de la función Gamma de Euler.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la tangente en términos de senos y cosenos para relacionarla con la forma trigonométrica de la función Beta y aplicaremos la fórmula de reflexión de Euler.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^5 e^{-t} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el integrando con la definición de la función Gamma de Euler y evaluaremos el factorial correspondiente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^{3/2} e^{-t} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la integral como el valor de la función Gamma en un argumento semientero y aplicaremos la propiedad de recurrencia.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito negativo:
\(\int_{-\infty}^{0} t^3 e^t \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable de simetría para trasladar la integral al semieje positivo y la relacionaremos con la función Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^4 e^{-t/2} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable que normalice el exponente a e elevado a menos u y utilizaremos la definición factorial de Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^{-1/2} e^{-2t} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un escalado en la variable de integración para obtener la forma estándar de la función Gamma y evaluaremos en un medio.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el integrando con la segunda forma de la función Beta y calcularemos su valor mediante la relación con la función Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{(1+2t)^4} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un escalado en la variable de integración para reducir el binomio a la forma uno más u y aplicaremos la función Beta.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los exponentes del integrando con la definición fundamental de la función Beta y calcularemos el valor factorial mediante Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la raíz en potencias fraccionarias de seno y coseno y utilizaremos la forma trigonométrica de la función Beta.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la integral impropia de Euler-Gauss en el semieje positivo utilizando la función Gamma:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable cuadrático para linealizar el exponente y evaluaremos el valor exacto de la función Gamma en un medio.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^3} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable que linealiza la potencia cúbica en el exponente y expresaremos el resultado en términos de la función Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^6}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable cuadrático para reducir la fracción a la segunda especie de Beta y calcularemos su valor exacto mediante la función Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable cuadrático para expresar la fracción en términos de la función Beta y evaluaremos el cociente de funciones Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que racionaliza el binomio del denominador y aplicaremos la segunda especie de la función Beta.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los exponentes pares con la forma trigonométrica estándar de la función Beta y calcularemos el valor exacto mediante factoriales dobles o Gamma.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{e^{3x}}{(2 + e^x)^4}\)
(
a) Justificar rigurosamente si la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular, si es posible, el valor exacto de la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por En este ejercicio estudiamos la convergencia analizando el decaimiento asintótico en ambos infinitos y calculamos su valor exacto mediante el cambio de variable exponencial.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Dada la función real \( f(x) = x^2(\ln x)^4 \) definida en el intervalo \((0, 1]\):
(
a) Justificar de forma rigurosa si la integral impropia \(\int_0^1 x^2(\ln x)^4 \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable logarítmico y la función Gamma de Euler.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Analizamos la acotación de la singularidad en el origen mediante órdenes de infinitud y resolvemos la integral transformándola en la función Gamma de Euler.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular de forma rigurosa el valor de la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_1^\infty \frac{\arctan x}{x^2} \, dx \)
aplicando la definición formal mediante el paso al límite del extremo superior.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Determinamos la primitiva en el intervalo finito acotado mediante integración por partes y calculamos el límite cuando el extremo superior tiende a más infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Dada la función racional real \( f(x) = \frac{x^2}{(1 + x^2)^4}\):
(
a) Demostrar que la integral impropia \(\int_0^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio trigonométrico del arco tangente y la función Beta de Euler.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Demostramos la convergencia mediante el criterio de comparación por paso al límite en el infinito y calculamos su valor exacto mediante integrales trigonométricas de Wallis.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Dada la función real \( f(x) = \ln(x^2) \) definida en el intervalo \((0, 1]\):
(
a) Decidir razonadamente si la integral impropia \(\int_0^1 \ln(x^2) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor numérico exacto mediante la regla de Barrow en el límite del extremo inferior.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Aplicamos las propiedades algebraicas del logaritmo para simplificar el integrando, integramos por partes y evaluamos el límite cuando el extremo inferior tiende a cero por la derecha.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Sea la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln^2 x}{x^2} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que es convergente sin calcular previamente su valor.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Demostramos la convergencia comparando con una p-integral convergente de orden intermedio y calculamos su valor exacto aplicando partes dos veces consecutivas.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Dada la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_0^\infty \frac{\sqrt{x}}{8 + x^3} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que la integral es convergente analizando el origen y el infinito.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable y la fórmula de reflexión de la función Beta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Analizamos la regularidad en el origen y la cota asintótica en el infinito y calculamos el valor exacto reduciendo la integral a la función Beta y su fórmula de reflexión.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Integrando mediante el método de partes, calcular el valor exacto de la integral impropia:
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln x}{x^4} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por Calculamos la primitiva mediante integración por partes asignando la derivada al logaritmo y evaluamos el límite cuando el extremo superior tiende a más infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular de forma analítica el valor de la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_4^\infty \frac{1}{x^2 - 4x + 3} \, dx \)
descomponiendo previamente el integrando en fracciones simples.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Factorizamos el denominador cuadrático para verificar la ausencia de singularidades en el intervalo de integración, descomponemos en fracciones simples y evaluamos el límite en el infinito.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular de forma exacta las siguientes integrales impropias utilizando las propiedades de las funciones especiales de Euler:
(a) \( I_1 = \int_0^\infty x^6 e^{-2x} \, dx \), empleando la función Gamma de Euler.
(b) \( I_2 = \int_0^1 x^3(1 - x)^4 \, dx \), empleando la función Beta de Euler.
Para resolver este ejercicio empezaremos por Aplicamos las definiciones y relaciones factoriales canónicas de las funciones Gamma y Beta de Euler para evaluar ambas integrales impropias de forma inmediata sin recurrir a partes iteradas.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
\( I = \int_{0}^{1} x^2 (\log x)^4 \, dx \)
a) Justificar rigurosamente si la integral es convergente.
b) Calcular su valor exacto empleando la función Gamma de Euler o integración por partes reiterada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos singulares del intervalo de integración y descomponer la integral si es necesario. A continuación calcularemos la primitiva analítica mediante integración por partes y evaluaremos el límite en los extremos para determinar su valor de convergencia. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.