Ejercicios · Problemas de examen
11 ejercicios resueltos paso a paso.
Problemas de examen
1.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{e^{3x}}{(2 + e^x)^4}\)
(
a) Justificar rigurosamente si la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular, si es posible, el valor exacto de la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \)
\( f(x) = \frac{e^{3x}}{(2 + e^x)^4}\)
(
a) Justificar rigurosamente si la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular, si es posible, el valor exacto de la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \)
2.
Dada la función real \( f(x) = x^2(\ln x)^4 \) definida en el intervalo \((0, 1]\):
(
a) Justificar de forma rigurosa si la integral impropia \(\int_0^1 x^2(\ln x)^4 \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable logarítmico y la función Gamma de Euler.
(
a) Justificar de forma rigurosa si la integral impropia \(\int_0^1 x^2(\ln x)^4 \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable logarítmico y la función Gamma de Euler.
3.
Calcular de forma rigurosa el valor de la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_1^\infty \frac{\arctan x}{x^2} \, dx \)
aplicando la definición formal mediante el paso al límite del extremo superior.
\( I = \int_1^\infty \frac{\arctan x}{x^2} \, dx \)
aplicando la definición formal mediante el paso al límite del extremo superior.
4.
Dada la función racional real \( f(x) = \frac{x^2}{(1 + x^2)^4}\):
(
a) Demostrar que la integral impropia \(\int_0^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio trigonométrico del arco tangente y la función Beta de Euler.
(
a) Demostrar que la integral impropia \(\int_0^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio trigonométrico del arco tangente y la función Beta de Euler.
5.
Dada la función real \( f(x) = \ln(x^2) \) definida en el intervalo \((0, 1]\):
(
a) Decidir razonadamente si la integral impropia \(\int_0^1 \ln(x^2) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor numérico exacto mediante la regla de Barrow en el límite del extremo inferior.
(
a) Decidir razonadamente si la integral impropia \(\int_0^1 \ln(x^2) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor numérico exacto mediante la regla de Barrow en el límite del extremo inferior.
6.
Sea la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln^2 x}{x^2} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que es convergente sin calcular previamente su valor.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el método de integración por partes.
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln^2 x}{x^2} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que es convergente sin calcular previamente su valor.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el método de integración por partes.
7.
Dada la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_0^\infty \frac{\sqrt{x}}{8 + x^3} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que la integral es convergente analizando el origen y el infinito.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable y la fórmula de reflexión de la función Beta.
\( I = \int_0^\infty \frac{\sqrt{x}}{8 + x^3} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que la integral es convergente analizando el origen y el infinito.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable y la fórmula de reflexión de la función Beta.
8.
Integrando mediante el método de partes, calcular el valor exacto de la integral impropia:
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln x}{x^4} \, dx \)
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln x}{x^4} \, dx \)
9.
Calcular de forma analítica el valor de la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_4^\infty \frac{1}{x^2 - 4x + 3} \, dx \)
descomponiendo previamente el integrando en fracciones simples.
\( I = \int_4^\infty \frac{1}{x^2 - 4x + 3} \, dx \)
descomponiendo previamente el integrando en fracciones simples.
10.
Calcular de forma exacta las siguientes integrales impropias utilizando las propiedades de las funciones especiales de Euler:
(a) \( I_1 = \int_0^\infty x^6 e^{-2x} \, dx \), empleando la función Gamma de Euler.
(b) \( I_2 = \int_0^1 x^3(1 - x)^4 \, dx \), empleando la función Beta de Euler.
(a) \( I_1 = \int_0^\infty x^6 e^{-2x} \, dx \), empleando la función Gamma de Euler.
(b) \( I_2 = \int_0^1 x^3(1 - x)^4 \, dx \), empleando la función Beta de Euler.
11.
Analizar la siguiente integral impropia:
\( I = \int_{0}^{1} x^2 (\log x)^4 \, dx \)
a) Justificar rigurosamente si la integral es convergente.
b) Calcular su valor exacto empleando la función Gamma de Euler o integración por partes reiterada.
\( I = \int_{0}^{1} x^2 (\log x)^4 \, dx \)
a) Justificar rigurosamente si la integral es convergente.
b) Calcular su valor exacto empleando la función Gamma de Euler o integración por partes reiterada.