📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.2.6 Ángulo entre dos vectores

Fórmula del coseno del ángulo comprendido entre dos vectores en R3 a partir de sus componentes cartesianas y módulo.

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1. Determinación Analítica del Ángulo

Despejando directamente de la definición geométrica del producto escalar, obtenemos la fórmula universal para el cálculo del ángulo $\alpha \in [0, \pi]$ que forman dos vectores no nulos $\vec{u}$ y $\vec{v}$:

Fórmula del Coseno del Ángulo

\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \; \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}

$$\alpha = \arccos\left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \right)$$

📌 Ejemplo Concreto de Ángulo entre Vectores:

Hallemos el ángulo comprendido entre $\vec{u} = (2, 2, -1)$ y $\vec{v} = (1, -2, 2)$:

\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + 2(-2) + (-1)(2) = 2 - 4 - 2 = -4

|\vec{u}| = \sqrt{4+4+1} = 3, \quad |\vec{v}| = \sqrt{1+4+4} = 3

Calculamos el coseno y el ángulo:

\cos(\alpha) = \frac{-4}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9} \implies \alpha = \arccos\left(-\frac{4}{9}\right) \approx 116.39^\circ

Al ser el coseno negativo, se confirma que el ángulo formado es obtuso.

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Ángulo Notable de 60°

Enunciado: Halla el ángulo entre $\vec{u}=(1, 1, 0)$ y $\vec{v}=(1, 0, 1)$.

Paso 1: Producto escalar y módulos

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1, \quad |\vec{u}|=\sqrt{2}, \quad |\vec{v}|=\sqrt{2}$$

Paso 2: Coseno y arco coseno

$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60^\circ$$

Ejemplo 2: Ángulo Recto (90°)

Enunciado: Halla el ángulo entre $\vec{u}=(2, 1, -2)$ y $\vec{v}=(1, 2, 2)$.

Paso 1: Producto escalar

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 + 2 - 4 = 0 \implies \cos(\alpha) = 0 \implies \alpha = 90^\circ$$

Ejemplo 3: Ángulo Obtuso de 120°

Enunciado: Halla el ángulo entre $\vec{u}=(1, 0, 0)$ y $\vec{v}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Paso 1: Coseno negativo

$$\cos(\alpha) = -\frac{1}{2} \implies \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

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