Operaciones con funciones - Matemáticas II

1. Álgebra de Funciones Reales

Dadas dos funciones \( f \) y \( g \) con dominios \( \text{Dom}(f) \) y \( \text{Dom}(g) \), se definen las siguientes operaciones puntuales:

Suma y Resta: \( (f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x) \), con dominio: \[ \text{Dom}(f \pm g) = \text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g) \]

Producto: \( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \), con dominio: \[ \text{Dom}(f \cdot g) = \text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g) \]

Cociente: \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \), con dominio: \[ \text{Dom}(f/g) = \{ x \in \text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g) \mid g(x) \neq 0 \} \]

📌 Ejemplo Concreto de Operaciones y Dominio:

Sean las funciones \( f(x) = \sqrt{x} \) con \( \text{Dom}(f) = [0, +\infty) \) y \( g(x) = x - 5 \) con \( \text{Dom}(g) = \mathbb{R} \):

(f + g)(x) = \sqrt{x} + x - 5 \implies \text{Dom}(f + g) = [0, +\infty) \cap \mathbb{R} = [0, +\infty)

Para el cociente \( (f/g)(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} \), excluimos además la anulación del denominador (\(x - 5 = 0 \implies x = 5\)):

\text{Dom}(f/g) = [0, 5) \cup (5, +\infty)

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Dominio de la suma de raíz y racional

Sean \( f(x) = \sqrt{x-1} \) y \( g(x) = \frac{1}{x-4} \).

\( \text{Dom}(f) = [1, +\infty) \), \( \text{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{4\} \).

\[ \text{Dom}(f+g) = [1, +\infty) \cap (\mathbb{R} \setminus \{4\}) = [1, 4) \cup (4, +\infty) \]

Ejemplo 2: Cociente de funciones

Si \( f(x) = x+2 \) y \( g(x) = x^2 - 9 \), \( (f/g)(x) = \frac{x+2}{x^2-9} \). Dom: \( \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\} \).

Ejemplo 3: Producto de funciones

Sean \( f(x) = \ln x \) y \( g(x) = \sqrt{5-x} \). Dominio producto: \( (0, +\infty) \cap (-\infty, 5] = (0, 5] \).