1. Composición de Funciones
Dadas dos funciones \( f \) y \( g \), la función compuesta \( (g \circ f) \) (leída "f compuesta con g", o "g sobre f") aplica en primer lugar \( f \) y a continuación \( g \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]1
Dominio de la composición: \[ \text{Dom}(g \circ f) = \{ x \in \text{Dom}(f) \mid f(x) \in \text{Dom}(g) \} \]
2
No conmutatividad: En general, \( (g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) \).
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Asociatividad: \( h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \).
📌 Ejemplo Concreto de Composición No Conmutativa:
Consideremos \( f(x) = 2x + 1 \) y \( g(x) = x^2 \). Evaluemos ambas composiciones en orden inverso:
$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$
Se evidencia de forma directa que \( (g \circ f)(x) eq (f \circ g)(x) \), demostrando que la composición no es conmutativa.
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Composición algebraica directa
Sean \( f(x) = 2x - 3 \) y \( g(x) = x^2 + 1 \).
\[ (g \circ f)(x) = g(2x-3) = (2x-3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10 \] \[ (f \circ g)(x) = f(x^2+1) = 2(x^2+1) - 3 = 2x^2 + 2 - 3 = 2x^2 - 1 \]Se evidencia que \( (g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) \).
Ejemplo 2: Dominio en funciones compuestas
Sean \( f(x) = x-2 \) y \( g(x) = \sqrt{x} \). \( (g \circ f)(x) = \sqrt{x-2} \). Dominio: \( x \ge 2 \).
Ejemplo 3: Auto-composición
Para \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( (f \circ f)(x) = f(1/x) = \frac{1}{1/x} = x \) para todo \( x \neq 0 \).