Definición de función - Matemáticas II

1. Concepto Fundamental de Función Matemática

Una función \( f \) de un conjunto \( A \) en un conjunto \( B \) (denotada \( f: A \to B \)) es una correspondencia o regla que asigna a cada elemento \( x \in A \) un único elemento \( y = f(x) \in B \):

\[ \forall x \in A, \quad \exists ! \, y \in B \text{ tal que } y = f(x) \]

Variable independiente (\( x \)): El valor de entrada que puede elegirse libremente dentro del dominio \( A \).

Variable dependiente (\( y \)): El resultado o valor de salida obtenido tras evaluar \( f(x) \).

Criterio de la recta vertical: En el plano cartesiano, una curva representa una función si y solo si cualquier recta vertical la corta como máximo en un único punto.

📌 Ejemplo Concreto de Verificación de Función:

Analicemos si la relación cuadrática implícita \( y^2 = 4x \) define a \( y \) como función de \( x \):

y = \pm \sqrt{4x} = \pm 2\sqrt{x}

Para un valor de entrada como \( x = 4 \), obtenemos dos imágenes distintas:

y_1 = +4, \quad y_2 = -4

Al no asignarse un único valor de salida para \( x = 4 \), la relación no es una función. En cambio, su rama positiva \( f(x) = +2\sqrt{x} \) sí constituye una función bien definida.

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Identificación de funciones vs curvas generales

\( y = x^2 \) sí es una función (a cada \( x \) le corresponde un solo \( y \)).

\( x^2 + y^2 = 1 \) (circunferencia) no es una función, pues para \( x=0 \) se tienen dos valores: \( y = 1 \) y \( y = -1 \).

Ejemplo 2: Funciones definidas a trozos

\( f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x < 0 \\ 2x & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \). Cumple la unicidad para cada valor real.

Ejemplo 3: Evaluación numérica puntual

Para \( f(x) = \frac{x+3}{x-1} \), la imagen de \( x=2 \) es \( f(2) = \frac{5}{1} = 5 \). En \( x=1 \) la función no está definida.