1. Enunciado del Teorema de Cauchy (Valor Medio Generalizado)
Dadas dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) que cumplen las siguientes condiciones en \( [a, b] \):
- Ambas son continuas en \( [a, b] \).
- Ambas son derivables en \( (a, b) \).
- \( g'(x) \ne 0 \) para todo \( x \in (a, b) \).
Nótese que \( g(b) \ne g(a) \) por el teorema de Rolle, garantizando que el denominador nunca es nulo.
Para \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = x^3 \) en el intervalo \([1, 2]\):
2. Relevancia Teórica y Demostración de L'Hôpital
El teorema de Cauchy es una extensión simultánea a dos funciones del teorema de Lagrange (si \( g(x) = x \), Cauchy se reduce inmediatamente a Lagrange).
Fundamento riguroso de la Regla de L'Hôpital
Si \( f(a) = g(a) = 0 \), el cociente incremental entre \( x \) y \( a \) toma la forma:
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \quad (c \text{ entre } a \text{ y } x) \]
Al tomar el límite cuando \( x \to a \), \( c \to a \), demostrando la Regla de L'Hôpital.
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Verificación con monomios
Aplicar el teorema de Cauchy a \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = x^3 \) en \( [1, 2] \) y hallar \( c \).
\[ f(1) = 1, \; f(2) = 4 \implies f(2) - f(1) = 3 \]
\[ g(1) = 1, \; g(2) = 8 \implies g(2) - g(1) = 7 \]
\[ \frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)} = \frac{3}{7} \]
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{2c}{3c^2} = \frac{2}{3c} = \frac{3}{7} \implies 9c = 14 \implies c = \frac{14}{9} \approx 1.556 \in (1, 2) \]
Ejemplo 2: Funciones exponenciales
Verificar Cauchy para \( f(x) = e^x \) y \( g(x) = e^{-x} \) en \( [0, 1] \).
\[ \frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)} = \frac{e - 1}{e^{-1} - 1} = \frac{e - 1}{\frac{1-e}{e}} = -e \]
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{e^c}{-e^{-c}} = -e^{2c} = -e \implies e^{2c} = e^1 \implies 2c = 1 \implies c = \frac{1}{2} \in (0, 1) \]
Ejemplo 3: Lagrange como caso particular
Comprobar que fijando \( g(x) = x \), el teorema de Cauchy coincide exactamente con el teorema de Lagrange.
Si \( g(x) = x \implies g'(x) = 1 \), y \( g(b) - g(a) = b - a \).
\[ \frac{f'(c)}{1} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \implies f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad \text{(Tesis de Lagrange)} \]