1. Regla de la Potencia Simple
Para cualquier exponente real \( n \ne -1 \):
Integremos \( f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \):
2. Forma Compuesta (Tipo Potencial Casi-Inmediata)
Si el integrando contiene una función \( u(x) \) elevada a una potencia \( n \ne -1 \) multiplicada por su derivada \( u'(x) \):
Si la derivada \( u'(x) \) difiere solo en un factor constante, podemos multiplicar y dividir por dicha constante fuera de la integral.
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Polinomio estándar
Calcular \( \int (6x^5 - 8x^3 + 3x - 1) \, dx \).
\[ = 6\left(\frac{x^6}{6}\right) - 8\left(\frac{x^4}{4}\right) + 3\left(\frac{x^2}{2}\right) - x + C = x^6 - 2x^4 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \]
Ejemplo 2: Tipo potencial compuesta con ajuste de constante
Calcular \( \int (2x+3)(x^2+3x-1)^4 \, dx \).
Identificamos \( u(x) = x^2+3x-1 \implies u'(x) = 2x+3 \). La derivada está exactamente presente:
\[ \int [u(x)]^4 \cdot u'(x) \, dx = \frac{(x^2+3x-1)^5}{5} + C \]
Ejemplo 3: Potencial con raíz y ajuste numérico
Calcular \( \int x \sqrt{x^2+5} \, dx \).
Escribimos \( \int x (x^2+5)^{1/2} \, dx \). Aquí \( u(x) = x^2+5 \implies u'(x) = 2x \). Ajustamos multiplicando y dividiendo por 2:
\[ = \frac{1}{2} \int 2x (x^2+5)^{1/2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+5)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+5)^{3/2} + C = \frac{1}{3}\sqrt{(x^2+5)^3} + C \]