Integrales logarítmicas - Matemáticas II

1. Tipo Logaritmo Inmediato

Para la potencia \( n = -1 \), la regla de la potencia no es aplicable. Su integral conduce al logaritmo neperiano:

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \quad (x \ne 0)

📌 Ejemplo Concreto de Tipo Logaritmo:

Calculemos ajustando la constante en el numerador:

\int \frac{x}{x^2 + 5} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2 + 5} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 5) + C

2. Forma Compuesta (Cociente con Derivada en el Numerador)

Siempre que el numerador de una fracción sea (o pueda convertirse en) la derivada del denominador:

\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C

Identificación clave: Si el numerador tiene exactamente un grado menos que el denominador, la integral es de tipo logarítmico (pudiendo requerir ajuste por una constante numérica).

3. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Denominador lineal

Calcular \( \int \frac{1}{3x+2} \, dx \).

Como \( [3x+2]' = 3 \), multiplicamos y dividimos por 3:

\[ \int \frac{1}{3x+2} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{3}{3x+2} \, dx = \frac{1}{3}\ln|3x+2| + C \]

Ejemplo 2: Denominador cuadrático con derivada exacta

Calcular \( \int \frac{2x-3}{x^2-3x+5} \, dx \).

El numerador es exactamente la derivada de \( x^2-3x+5 \):

\[ \int \frac{2x-3}{x^2-3x+5} \, dx = \ln|x^2-3x+5| + C \]

Ejemplo 3: Integral de la tangente

Calcular \( \int \tan x \, dx \).

\[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x} \, dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C \]