Integrales trigonométricas inversas

1. Tipo Arcoseno

Para la función arcoseno:

\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C

En su forma general con constante \( a > 0 \):

\int \frac{u'(x)}{\sqrt{a^2 - [u(x)]^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{u(x)}{a}\right) + C

📌 Ejemplo Concreto de Tipo Arcoseno y Arcotangente:

Identifiquemos las formas estándar:

\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}} \, dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{\sqrt{1 - (3x)^2}} \, dx = \frac{1}{3}\arcsin(3x) + C

\int \frac{1}{1 + 4x^2} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{2}{1 + (2x)^2} \, dx = \frac{1}{2}\arctan(2x) + C

Para la función arcotangente (sin radical en el denominador):

\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C

En su forma general con constante \( a > 0 \):

\int \frac{u'(x)}{a^2 + [u(x)]^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{u(x)}{a}\right) + C

Calcular \( \int \frac{1}{x^2+9} \, dx \).

Aquí \( a^2 = 9 \implies a = 3 \). Aplicamos directamente la fórmula:

\[ \int \frac{1}{x^2+3^2} \, dx = \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C \]

Calcular \( \int \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}} \, dx \).

Identificamos \( a^2 = 4 \implies a = 2 \) y \( u(x) = 3x \implies u'(x) = 3 \):

\[ = \frac{1}{3} \int \frac{3}{\sqrt{2^2 - (3x)^2}} \, dx = \frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{3x}{2}\right) + C \]

Calcular \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \).

Notemos que \( e^{2x} = (e^x)^2 \). Con \( u = e^x \implies u' = e^x \):

\[ \int \frac{e^x}{1 + (e^x)^2} \, dx = \arctan(e^x) + C \]