1. Fórmula Fundamental de Integración por Partes
A partir de la derivada del producto \( d(uv) = u \, dv + v \, du \), se obtiene integrando ambos miembros:
Calculemos \( \int x e^x \, dx \) aplicando \( \int u \, dv = u v - \int v \, du \):
2. Criterio de Selección: Regla ALPES
Para elegir qué factor asignar a \( u \) (el cual se derivará), se sigue el orden de prioridad de la palabra ALPES (de izquierda a derecha):
- A: Arcos (funciones trigonométricas inversas: \( \arcsin, \arccos, \arctan \)).
- L: Logarítmicas (\( \ln x, \log_a x \)).
- P: Polinómicas o algebraicas (\( x, x^2, x^n \)).
- E: Exponenciales (\( e^x, a^x \)).
- S: Senos y Cosenos (trigonométricas directas).
El resto del integrando se asigna a \( dv \) (que se integra para hallar \( v \)).
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Polinomio por exponencial
Calcular \( \int x e^{2x} \, dx \).
Por ALPES: \( u = x \implies du = dx \); \( dv = e^{2x} dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x} \).
\[ \int x e^{2x} \, dx = x \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) - \int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{1}{4}(2x-1)e^{2x} + C \]
Ejemplo 2: Polinomio por logaritmo
Calcular \( \int x^2 \ln x \, dx \).
Por ALPES (Logaritmo antes que Polinomio): \( u = \ln x \implies du = \frac{1}{x}dx \); \( dv = x^2 dx \implies v = \frac{x^3}{3} \).
\[ = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C \]
Ejemplo 3: Integral cíclica
Calcular \( I = \int e^x \sin x \, dx \).
1ª integración: \( u = \sin x \implies du = \cos x dx \); \( dv = e^x dx \implies v = e^x \):
\[ I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx \]
2ª integración: \( u = \cos x \implies du = -\sin x dx \); \( dv = e^x dx \implies v = e^x \):
\[ I = e^x \sin x - \left[ e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx \right] = e^x \sin x - e^x \cos x - I \]
\[ 2I = e^x(\sin x - \cos x) \implies I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C \]