Regla de L'Hôpital - Matemáticas II

1. Enunciado Formal de la Regla de L'Hôpital

Sean \( f \) y \( g \) dos funciones derivables en un entorno de \( c \) (pudiendo ser \( c \in \mathbb{R} \) o \( \pm\infty \)), con \( g'(x) \neq 0 \). Si se presenta una indeterminación del tipo \( [0/0] \) o \( [\infty/\infty] \), entonces:

\[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Derivadas Independientes: Se derivan numerador y denominador por separado: \( f'(x) \) y \( g'(x) \). Nunca aplicar la regla de la derivada de un cociente.

Aplicación Reiterada: Si tras derivar persiste una indeterminación admisible (\( [0/0] \) o \( [\infty/\infty] \)), se puede volver a aplicar la regla derivando sucesivamente: \( \lim \frac{f''(x)}{g''(x)} \).

Transformación Previa: Formas como \( [0 \cdot \infty] \) o \( [\infty - \infty] \) deben transformarse algebraicamente a cociente antes de aplicar L'Hôpital.

📌 Ejemplo Concreto: Verificación y Aplicación Reiterada de la Regla de L'Hôpital

Enunciado: Calcular mediante la regla de L'Hôpital el siguiente límite en el origen:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que se cumplen todas las hipótesis de derivabilidad e indeterminación cero entre cero. A continuación aplicaremos la primera derivación independiente de numerador y denominador. Para terminar evaluaremos la nueva indeterminación, aplicaremos una segunda derivación y concluiremos el resultado.

Paso 1: Verificación de hipótesis de partida

Evaluamos en \( x = 0 \): \( e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0 \), y \( 0^2 = 0 \). Estamos ante \( [\frac{0}{0}] \). Ambas funciones son derivables y \( (x^2)' = 2x \neq 0 \) para \( x \neq 0 \).

Paso 2: Primera derivación y comprobación de indeterminación persistente

Derivamos independientemente numerador y denominador:

\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - x - 1)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}

Al reevaluar en \( x = 0 \): \( \frac{e^0 - 1}{2(0)} = [\frac{0}{0}] \). Es legítimo aplicar L'Hôpital por segunda vez.

Paso 3: Segunda derivación y conclusión

Derivamos de nuevo numerador y denominador:

\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

Conclusión: Por la regla de L'Hôpital, el límite original es exactamente igual a \( \frac{1}{2} \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Aplicación canónica de la regla de L'Hôpital con funciones trascendentes

Enunciado: Calcular mediante la regla de L'Hôpital el siguiente límite, justificando previamente la verificación de todas las hipótesis del teorema:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar rigurosamente las tres hipótesis del teorema de L'Hôpital: continuidad, derivabilidad y presencia de la indeterminación cero entre cero. A continuación efectuaremos la primera derivada de numerador y denominador. Para terminar evaluaremos la derivada resultante y, al persistir la indeterminación, aplicaremos una segunda derivada para hallar el resultado final.

Paso 1: Verificación estricta de las hipótesis del Teorema de L'Hôpital

Las funciones \( f(x) = e^x - 1 - x \) y \( g(x) = x^2 \) son derivables en un entorno de 0, \( g'(x) = 2x \neq 0 \) para \( x \neq 0 \), y se verifica \( f(0) = 0 \), \( g(0) = 0 \implies [\frac{0}{0}] \).

Paso 2: Primera derivación independiente de numerador y denominador

Derivamos numerador y denominador:

\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}

Al evaluar de nuevo en 0: \( \frac{e^0 - 1}{2(0)} = [\frac{0}{0}] \). Aplicamos la regla por segunda vez.

Paso 3: Segunda derivación y cálculo del resultado final

Derivamos de nuevo de forma independiente:

\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

Conclusión: El límite coincide con el de las segundas derivadas: \( \frac{1}{2} \).

Ejemplo 2: Indeterminación infinito entre infinito en el infinito

Enunciado: Demostrar mediante la regla de L'Hôpital que la función logaritmo crece más lentamente que la identidad en el infinito:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las hipótesis de L'Hôpital para límites en el infinito reconociendo la indeterminación infinito entre infinito. A continuación derivaremos de forma independiente el numerador logarítmico y el denominador lineal. Para terminar simplificaremos el cociente de las derivadas y evaluaremos el límite cuando x tiende a más infinito.

Paso 1: Verificación de hipótesis para límites en el infinito

Al evaluar cuando \( x \to +\infty \), \( \ln(+\infty) = +\infty \) y el denominador tiende a \( +\infty \), configurando \( [\frac{\infty}{\infty}] \). Ambas funciones son diferenciables en \( (0, +\infty) \) y \( (x)' = 1 \neq 0 \).

Paso 2: Derivación de numerador y denominador

Derivamos: \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) y \( (x)' = 1 \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}

Paso 3: Evaluación y conclusión

Evaluamos el límite directo:

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{+\infty} = 0

Conclusión: El límite es \( 0 \), confirmando que el crecimiento lineal domina asintóticamente sobre el logaritmo.

Ejemplo 3: Transformación previa de producto cero por infinito

Enunciado: Calcular de manera rigurosa el límite lateral en el origen:

\lim_{x \to 0^+} (x \ln x)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación cero por infinito y reescribir la expresión transformándola en un cociente. A continuación comprobaremos que el nuevo cociente cumple las hipótesis de L'Hôpital y derivaremos numerador y denominador. Para terminar simplificaremos algebraicamente la fracción resultante y calcularemos el límite final.

Paso 1: Identificación de la indeterminación producto y reescritura en cociente

Al evaluar en \( x \to 0^+ \): \( 0 \cdot \ln(0^+) = 0 \cdot (-\infty) = [0 \cdot \infty] \). Pasamos el factor \( x \) al denominador como su recíproco \( 1/x \):

x \ln x = \frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} \implies \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} \quad \left[\frac{-\infty}{+\infty}\right]

Paso 2: Aplicación de la regla de L'Hôpital y simplificación algebraica

Derivamos independientemente el numerador y el denominador:

\lim_{x \to 0^+} \frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \left( -\frac{x^2}{x} \right) = \lim_{x \to 0^+} (-x)

Paso 3: Cálculo del límite final y conclusión

Evaluamos el límite elemental:

\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

Conclusión: El límite de la función producto \( x \ln x \) cuando \( x \to 0^+ \) es \( 0 \).