Operaciones con infinitos - Matemáticas II

1. Aritmética del Infinito

En el cálculo de límites, el símbolo \( \infty \) no representa un número real, sino una tendencia divergente sin cota. Las operaciones con infinitos siguen reglas aritméticas específicas:

Suma y Producto: \( (+\infty) + (+\infty) = +\infty \), \( (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty \). Los signos se rigen por la regla estándar de los signos de los números reales.

Constante e Infinito: \( k \pm \infty = \pm\infty \), \( \frac{k}{\pm\infty} = 0 \) (para cualquier constante \( k \in \mathbb{R} \)).

Cociente por Cero (\( k/0 \)): \( \frac{k}{0^+} = +\infty \) y \( \frac{k}{0^-} = -\infty \) (para \( k > 0 \)). Es imperativo conocer el signo de aproximación del denominador.

Potencias Exponenciales: Si \( a > 1 \implies a^{+\infty} = +\infty \), \( a^{-\infty} = 0 \). Si \( 0 < a < 1 \implies a^{+\infty} = 0 \), \( a^{-\infty} = +\infty \).

📌 Ejemplo Concreto: Clasificación y Evaluación de Operaciones con Infinitos

Enunciado: Calcular razonadamente el resultado de la siguiente expresión combinada con tendencias al infinito:

L = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{4}{e^x} - 2x^3 + \frac{7}{x^2} \right)

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar cada uno de los sumandos de forma independiente aplicando las reglas de la aritmética del infinito. A continuación determinaremos los límites parciales para las fracciones con denominador infinito y para la potencia cúbica. Para terminar agruparemos los resultados mediante las reglas de suma con infinitos y concluiremos.

Paso 1: Evaluación de las fracciones con denominador divergente

Calculamos el límite de los términos fraccionarios cuando \( x \to +\infty \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{e^x} = \frac{4}{e^{+\infty}} = \frac{4}{+\infty} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{7}{x^2} = \frac{7}{(+\infty)^2} = \frac{7}{+\infty} = 0

Paso 2: Evaluación del término polinómico divergente

Calculamos el límite del término potencial central multiplicando por el coeficiente negativo:

\lim_{x \to +\infty} (-2x^3) = -2 \cdot (+\infty)^3 = -2 \cdot (+\infty) = -\infty

Paso 3: Agrupación y conclusión

Sumamos algebraicamente los tres límites parciales:

L = 0 - \infty + 0 = -\infty

Conclusión: La expresión es determinada y diverge hacia \( -\infty \).

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Operaciones aritméticas elementales y regla de los signos con infinitos

Enunciado: Determinar razonadamente el resultado de las siguientes operaciones simbólicas que involucran infinitos determinados:

\text{a) } (+\infty) \cdot (-\infty) \qquad\qquad \text{b) } \frac{-7}{+\infty} \qquad\qquad \text{c) } (-\infty)^3

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar y aplicar la regla de los signos en el producto de cantidades infinitas para el primer caso. A continuación analizaremos la regla del cociente de una constante finita entre una cantidad que diverge sin límite para el segundo caso. Para terminar evaluaremos la potencia de exponente entero impar sobre un infinito negativo y formularemos las conclusiones.

Paso 1: Regla de los signos en el producto de magnitudes infinitas

El producto de dos magnitudes que crecen sin límite en valor absoluto da como resultado una magnitud infinita. El signo resultante sigue la regla clásica de los signos del producto de números reales:

(+\infty) \cdot (-\infty) = -(\infty \cdot \infty) = -\infty

Paso 2: División de una constante finita entre infinito

Cuando un número fijo no nulo se divide entre una cantidad infinitamente grande, las partes resultantes tienden a cero:

\frac{k}{\pm\infty} = 0 \quad (\forall k \in \mathbb{R}) \implies \frac{-7}{+\infty} = 0

La aproximación se produce por valores negativos (\( 0^- \)).

Paso 3: Potencias de exponente impar sobre infinito negativo y conclusión

Al elevar una magnitud que tiende a \( -\infty \) a una potencia impar, el signo negativo se conserva:

(-\infty)^3 = (-\infty) \cdot (-\infty) \cdot (-\infty) = (+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty

Conclusión: Las tres operaciones son determinadas y sus resultados respectivos son \( -\infty \), \( 0 \) y \( -\infty \).

Ejemplo 2: Distinción crucial entre dividir por cero y aproximarse a cero

Enunciado: Analizar el comportamiento asintótico de la función racional \( f(x) = \dfrac{5}{x-3} \) evaluando sus límites laterales en el punto crítico \( x = 3 \):

\lim_{x \to 3^+} \frac{5}{x-3} \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to 3^-} \frac{5}{x-3}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por fundamentar la diferencia conceptual entre dividir por cero exacto y el cálculo de límites cuando el denominador tiende a cero. A continuación evaluaremos el límite lateral por la derecha determinando el signo de aproximación positivo del denominador. Para terminar evaluaremos el límite lateral por la izquierda determinando el signo de aproximación negativo y concluiremos.

Paso 1: Fundamento conceptual de la indeterminación k/0

La división directa por el número cero exacto no está definida en matemáticas (\( 5/0 = \text{indefinido} \)). En el cálculo de límites, el denominador no es cero, sino que tiende hacia cero a través de valores infinitamente pequeños, lo que genera divergencia hacia \( \pm\infty \). Es indispensable determinar el signo de aproximación del denominador.

Paso 2: Evaluación del límite lateral derecho (\( x \to 3^+ \))

Nos aproximamos a 3 con valores ligeramente mayores (\( x > 3 \), por ejemplo \( x = 3,001 \)). Entonces \( x - 3 > 0 \), denotado por \( 0^+ \):

\lim_{x \to 3^+} \frac{5}{x-3} = \frac{5}{0^+} = +\infty

Paso 3: Evaluación del límite lateral izquierdo (\( x \to 3^- \)) y conclusión

Nos aproximamos a 3 con valores ligeramente menores (\( x < 3 \), por ejemplo \( x = 2,999 \)). Entonces \( x - 3 < 0 \), denotado por \( 0^- \):

\lim_{x \to 3^-} \frac{5}{x-3} = \frac{5}{0^-} = -\infty

Conclusión: Al divergir hacia signos opuestos (\( +\infty \neq -\infty \)), el límite global en \( x = 3 \) no existe, y la recta \( x = 3 \) es una asíntota vertical bilateral de la función.

Ejemplo 3: Potencias con base finita y exponente infinito

Enunciado: Justificar rigurosamente el cálculo de los siguientes límites exponenciales analizando el valor de la base:

\text{a) } \lim_{x \to +\infty} 2^x \qquad\qquad \text{b) } \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad\qquad \text{c) } \lim_{x \to -\infty} 3^x

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el crecimiento de la función exponencial con base mayor que uno para exponente positivo grande. A continuación analizaremos el comportamiento decreciente hacia cero de una base comprendida entre cero y uno. Para terminar aplicaremos la propiedad de inversión de exponentes negativos para calcular el límite hacia menos infinito y concluiremos.

Paso 1: Caso de base mayor que la unidad (\( a > 1 \))

Para la base \( a = 2 > 1 \), la multiplicación sucesiva de una cantidad mayor que 1 por sí misma diverge rápidamente sin límite:

\lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty} = +\infty

Paso 2: Caso de base comprendida entre cero y uno (\( 0 < a < 1 \))

Para una base fraccionaria positiva menor que 1, como \( a = 1/2 \), multiplicar sucesivamente reduce el valor hacia cero:

\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2^x} = \frac{1}{+\infty} = 0

Paso 3: Transformación de exponente negativo hacia menos infinito

Para evaluar \( \lim_{x \to -\infty} 3^x \), aplicamos la propiedad de la potencia con exponente negativo \( 3^{-t} = \frac{1}{3^t} \):

\lim_{x \to -\infty} 3^x = 3^{-\infty} = \frac{1}{3^{+\infty}} = \frac{1}{+\infty} = 0

Conclusión: El comportamiento de la potencia con exponente infinito depende críticamente de si la base es mayor o menor que 1, obteniéndose respectivamente \( +\infty \), \( 0 \) y \( 0 \).