Orden de infinitud - Matemáticas II

1. Jerarquía de Infinitos para \( x \to +\infty \)

Cuando dos funciones divergen hacia infinito (\( f(x) \to +\infty \) y \( g(x) \to +\infty \)), no necesariamente lo hacen a la misma velocidad. La escala asintótica estándar clasifica el crecimiento de menor a mayor rapidez:

Jerarquía Canónica: \( \ln(x) \ll x^p \ll a^x \ll x^x \) (con \( p > 0 \) y \( a > 1 \)).

Cálculo Inmediato: Si \( f(x) \) tiene mayor orden que \( g(x) \), entonces \( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty \) y \( \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{f(x)} = 0 \).

Regla del Desprecio: En una suma algebraica de infinitos, se pueden despreciar todos los términos de orden inferior frente al término dominante.

📌 Ejemplo Concreto: Comparación de Órdenes en Cociente Mixto

Enunciado: Resolver de forma razonada el siguiente límite cuando \( x \to +\infty \) aplicando la escala de órdenes de infinitud:

\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + \ln(x)}{2^x - 5x^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término dominante de mayor orden de infinitud en el numerador y en el denominador. A continuación aplicaremos la regla del desprecio de infinitos inferiores simplificando la fracción. Para terminar compararemos los órdenes del cociente resultante y determinaremos el valor del límite.

Paso 1: Identificación de los términos dominantes

Analizamos las clases de funciones presentes en cada miembro:

En el numerador \( x^3 + \ln(x) \), la potencia \( x^3 \) domina sobre el logaritmo \( \ln x \): \( x^3 + \ln x \sim x^3 \).
En el denominador \( 2^x - 5x^2 \), la función exponencial \( 2^x \) domina sobre la parábola \( 5x^2 \): \( 2^x - 5x^2 \sim 2^x \).

Paso 2: Reducción al cociente de términos dominantes

Sustituimos la fracción original por el cociente asintótico equivalente:

\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + \ln(x)}{2^x - 5x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2^x}

Paso 3: Aplicación de la jerarquía exponencial-potencial y conclusión

Por la jerarquía de infinitos, toda función exponencial de base \( a > 1 \) tiene un orden de infinitud estrictamente superior al de cualquier potencia polinómica: \( \text{Orden}(2^x) > \text{Orden}(x^3) \). Por consiguiente:

\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2^x} = 0

Conclusión: El límite es \( 0 \), ya que el denominador exponencial crece a un ritmo infinitamente superior al del numerador polinómico.

2. Ejemplos Prácticos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Dominancia asintótica de la función exponencial sobre polinomios

Enunciado: Calcular de forma razonada el límite cuando \( x \to +\infty \) de la siguiente fracción utilizando la jerarquía de órdenes de infinitud:

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{1000}}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito entre infinito y enunciar la jerarquía canónica de infinitos. A continuación compararemos el orden de crecimiento de la función exponencial frente al polinomio de grado 1000. Para terminar dictaminaremos el resultado del límite aplicando el teorema de comparación asintótica.

Paso 1: Identificación de la indeterminación y jerarquía asintótica

Al evaluar directamente cuando \( x \to +\infty \), obtenemos una indeterminación del tipo \( [\frac{\infty}{\infty}] \). Recordamos la escala canónica de infinitud para \( x \to +\infty \):

\text{Logarítmica } (\ln x) \ll \text{Polinómica/Potencial } (x^p) \ll \text{Exponencial } (a^x, a > 1) \ll \text{Factorial/Potencial-Exponencial } (x^x)

Paso 2: Comparación formal de los órdenes del numerador y del denominador

El numerador \( e^x \) es una función exponencial de base \( e \approx 2,718 > 1 \), mientras que el denominador \( x^{1000} \) es una función potencial de grado 1000. Por el teorema de comparación: \( \text{Orden}(e^x) > \text{Orden}(x^n) \) para todo \( n \in \mathbb{R}^+ \). La tasa de crecimiento de la función exponencial supera a cualquier potencia para \( x \) suficientemente grande.

Paso 3: Conclusión directa del límite

Al crecer el numerador infinitamente más rápido que el denominador:

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{1000}} = +\infty

Conclusión: El límite es \( +\infty \) por dominancia de la función exponencial sobre el polinomio.

Ejemplo 2: Comparación entre función potencial y función logarítmica

Enunciado: Resolver razonadamente el siguiente límite analizando las velocidades de crecimiento:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la forma indeterminada clasificando las familias de funciones del numerador y del denominador. A continuación aplicaremos la propiedad de subordinación asintótica del logaritmo respecto a cualquier potencia positiva de x. Para terminar calcularemos el límite resultante y concluiremos.

Paso 1: Reconocimiento de órdenes y tipos de función

Al sustituir \( x \to +\infty \), tanto \( \ln(+\infty) = +\infty \) como \( \sqrt{+\infty} = +\infty \), generando la forma indeterminada \( [\frac{\infty}{\infty}] \). El numerador es una función logarítmica \( \ln x \) y el denominador es una función potencial con exponente positivo \( \sqrt{x} = x^{1/2} \).

Paso 2: Aplicación del teorema de infinitud logarítmica

La función logaritmo es el infinito de crecimiento más lento entre las funciones usuales, quedando subordinada a cualquier potencia de exponente positivo \( p > 0 \): \( \text{Orden}(\ln x) < \text{Orden}(x^p) \). Con \( p = 1/2 > 0 \), la raíz cuadrada crece mucho más rápido que el logaritmo.

Paso 3: Cálculo del límite y conclusión

Dado que el orden de infinitud del denominador domina sobre el del numerador:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0

Conclusión: La fracción tiende asintóticamente a \( 0 \) en el infinito.

Ejemplo 3: Principio de desprecio de infinitos de orden inferior

Enunciado: Calcular mediante la técnica de equivalencia por infinitos dominantes el límite:

\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x - x^4 + \ln x}{2 \cdot 3^x + 5x^2}

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por examinar la suma algebraica identificando el término de mayor orden en el numerador y en el denominador. A continuación justificaremos la eliminación de los infinitos subordinados aplicando la regla del desprecio. Para terminar simplificaremos el cociente de los términos dominantes y hallaremos el límite.

Paso 1: Identificación del término dominante en cada miembro

Examinamos todos los infinitos presentes cuando \( x \to +\infty \): en el numerador coexisten \( 3^x \) (exponencial), \( -x^4 \) (potencial de grado 4) y \( \ln x \) (logarítmica), siendo el término dominante \( 3^x \). En el denominador conviven \( 2 \cdot 3^x \) (exponencial) y \( 5x^2 \) (potencial de grado 2), siendo el término dominante \( 2 \cdot 3^x \).

Paso 2: Justificación del desprecio de órdenes inferiores

En una suma algebraica de infinitos, el comportamiento asintótico está determinado por el término de mayor orden:

3^x - x^4 + \ln x \sim 3^x, \qquad 2 \cdot 3^x + 5x^2 \sim 2 \cdot 3^x

Paso 3: Simplificación y resolución final

Sustituimos las expresiones equivalentes y cancelamos el factor común \( 3^x \neq 0 \):

\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x - x^4 + \ln x}{2 \cdot 3^x + 5x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{2 \cdot 3^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Conclusión: El límite es igual a \( \frac{1}{2} \).