1. Definición y Existencia de Asíntotas Horizontales
La recta horizontal \( y = b \) es una asíntota horizontal (AH) de \( f(x) \) si el límite en \( +\infty \) o en \( -\infty \) es un valor finito \( b \):
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = b_1 \qquad \text{o} \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b_2 \]1
Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales distintas (una para \( +\infty \) y otra para \( -\infty \)).
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Posición relativa: Se analiza el signo de la diferencia \( f(x) - b \) para \( x \to \pm \infty \). Si \( f(x) - b > 0 \), la curva se aproxima por encima; si \( < 0 \), por debajo.
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Compatibilidad: Si existe asíntota horizontal en un extremo (\( +\infty \) o \( -\infty \)), no puede haber asíntota oblicua en ese mismo extremo.
📌 Ejemplo Concreto de Asíntota Horizontal:
Determinemos la asíntota horizontal de \( f(x) = \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 5} \):
Calculamos el límite en el infinito:
$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^2}{2x^2} = \frac{4}{2} = 2$$
La función presenta una asíntota horizontal en la recta \(y = 2\) tanto hacia \(+\infty\) como hacia \(-\infty\).
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Función racional de grados iguales
\( f(x) = \frac{3x^2+1}{x^2-2} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3 \implies y = 3 \) es AH.
Ejemplo 2: Dos asíntotas horizontales distintas
\( f(x) = \frac{2e^x + 1}{e^x + 3} \). Para \( x \to +\infty \implies y = 2 \). Para \( x \to -\infty \implies y = 1/3 \).
Ejemplo 3: Grado de numerador menor
\( f(x) = \frac{5}{x^2+4} \implies y = 0 \) (el propio eje OX) es AH en ambos extremos.