Teorema de Bolzano - Matemáticas II

1. Enunciado Fundamental del Teorema de Bolzano

Si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo cerrado \( [a, b] \) y toma valores de signos opuestos en los extremos (\( f(a) \cdot f(b) < 0 \)), entonces existe al menos un punto \( c \in (a, b) \) tal que \( f(c) = 0 \):

\[ f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists c \in (a, b) \text{ tal que } f(c) = 0 \]

Existencia de Raíz: Garantiza que la curva corta al menos una vez al eje horizontal \( OX \) en el interior del intervalo.

Unicidad de la Raíz: Si además la función es estrictamente monótona en \( [a, b] \) (su derivada \( f'(x) > 0 \) o \( f'(x) < 0 \)), la raíz \( c \) es única.

Método de Bisección: Permite aproximar numéricamente el valor de \( c \) con la precisión deseada dividiendo el intervalo por la mitad sucesivamente.

📌 Ejemplo Concreto del Teorema de Bolzano:

Demostremos que la ecuación \( x^3 + 2x - 5 = 0 \) posee al menos una raíz real en el intervalo \([1, 2]\):

Definimos \( f(x) = x^3 + 2x - 5 \), que es polinómica y por ende continua en \([1, 2]\). Evaluamos los extremos:

f(1) = 1 + 2 - 5 = -2 < 0, \qquad f(2) = 8 + 4 - 5 = +7 > 0

Al verificarse \( f(1) \cdot f(2) < 0 \), por el Teorema de Bolzano existe al menos un \( c \in (1, 2) \) con \( f(c) = 0 \).

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Raíz de ecuación cúbica

Demostrar que \( x^3 + 2x - 1 = 0 \) tiene una solución en \( [0, 1] \).

\( f(0) = -1 < 0 \), \( f(1) = 2 > 0 \). Continua en \( [0, 1] \) con cambio de signo \( \implies \exists c \in (0, 1) \) con \( f(c) = 0 \).

Ejemplo 2: Corte de curvas trascendentes

\( \cos x = x \iff f(x) = \cos x - x = 0 \) en \( [0, \pi/2] \). \( f(0)=1 > 0 \), \( f(\pi/2) = -\pi/2 < 0 \implies \) Se cortan.

Ejemplo 3: Unicidad por derivada

\( f'(x) = 3x^2 + 2 > 0 \) para todo \( x \implies f \) es estrictamente creciente \( \implies \) La solución es única.