1. Metodología de Resolución de Problemas de Optimización
Los problemas de optimización consisten en encontrar las dimensiones o variables que hacen máxima o mínima una magnitud sujeta a una o más restricciones:
- Identificar la función objetivo: Escribir la magnitud a optimizar en términos de las variables del problema (ej. \( A = x \cdot y \)).
- Identificar la ecuación de restricción o ligadura: Relación entre las variables impuesta por el enunciado (ej. perímetro, volumen, coste).
- Despejar una variable: Sustituir en la función objetivo para obtener una función de una sola variable independiente \( f(x) \).
- Definir el dominio de definición: Intervalo admisible físicamente para la variable \( x \).
- Buscar puntos críticos: Resolver \( f'(x) = 0 \).
- Verificar el tipo de extremo: Aplicar el criterio de la segunda derivada (\( f''(x) < 0 \) máx, \( f''(x) > 0 \) mín) o estudiar el signo de \( f'(x) \).
- Responder a la pregunta: Dar todas las dimensiones y el valor óptimo.
Queremos vallar un recinto rectangular adyacente a un río (no necesita valla en el río) con \( 100 \text{ m} \) de tela metálica para maximizar su área:
Derivamos e igualamos a cero: \( A'(x) = 100 - 4x = 0 \implies x = 25 \text{ m} \implies y = 50 \text{ m} \).
Como \( A''(25) = -4 < 0 \), el área máxima es \( A_{\max} = 25 \cdot 50 = 1250 \text{ m}^2 \).
2. Ejemplos Clásicos de Selectividad
Ejemplo 1: Rectángulo de área máxima con perímetro fijo
Se dispone de \( 100 \text{ m} \) de valla para cercar un terreno rectangular. Hallar las dimensiones para maximizar el área.
Perímetro: \( 2x + 2y = 100 \implies y = 50 - x \). Función objetivo: \( A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2 \).
\[ A'(x) = 50 - 2x = 0 \implies x = 25 \implies y = 25 \]
\[ A''(x) = -2 < 0 \implies \text{Máximo absoluto} \]
El terreno óptimo es un cuadrado de \( 25 \text{ m} \times 25 \text{ m} \) con área máxima de \( 625 \text{ m}^2 \).
Ejemplo 2: Caja abierta de volumen máximo
A partir de una cartulina cuadrada de \( 24 \text{ cm} \times 24 \text{ cm} \), se construye una caja recortando cuadrados de lado \( x \) en las cuatro esquinas.
Base: \( (24 - 2x) \times (24 - 2x) \), altura: \( x \). Dominio: \( x \in (0, 12) \).
\[ V(x) = x(24 - 2x)^2 = 4x(12 - x)^2 = 4x(144 - 24x + x^2) = 4(x^3 - 24x^2 + 144x) \]
\[ V'(x) = 4(3x^2 - 48x + 144) = 12(x^2 - 16x + 48) = 12(x - 4)(x - 12) = 0 \implies x = 4 \text{ cm} \]
\[ V''(4) = 12(2(4) - 16) = -96 < 0 \implies \text{Máximo} \implies V_{\text{máx}} = 4(16)^2 = 1024 \text{ cm}^3 \]
Ejemplo 3: Cilindro de coste mínimo
Fabricar un bote cilíndrico cerrado de \( 1000 \text{ cm}^3 \) de volumen minimizando la superficie total.
Volumen: \( V = \pi r^2 h = 1000 \implies h = \frac{1000}{\pi r^2} \).
Superficie: \( S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} \).
\[ S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \implies 4\pi r^3 = 2000 \implies r^3 = \frac{500}{\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5.42 \text{ cm} \]
\[ S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 \implies \text{Mínimo absoluto} \]