1. Definición de la Diferencia de Conjuntos
La diferencia de dos sucesos \( A \) y \( B \), denotada \( A \setminus B \) (o \( A - B \)), es el suceso que ocurre cuando se verifica \( A \) y no se verifica \( B \):
Para \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), con \( A = \{2, 4, 6\} \) (pares) y \( B = \{4, 5, 6\} \) (mayores que 3):
Es el suceso "obtener un número par que no sea mayor que 3", compuesto únicamente por el número \(2\).
2. Propiedades y Diferencia Simétrica
- \( A \setminus B = A \setminus (A \cap B) \)
- Si \( A \cap B = \emptyset \implies A \setminus B = A \)
- Si \( B \subseteq A \implies A \setminus B = A \cap \bar{B} \)
- Diferencia simétrica \( A \Delta B \): Ocurre exactamente uno de los dos sucesos (ocurre \( A \) sin \( B \), o \( B \) sin \( A \)): \[ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \]
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Diferencia en un conjunto finito
Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{3, 4, 5, 6\} \).
\[ A \setminus B = \{1, 2\} \qquad B \setminus A = \{5, 6\} \]
Nótese que la diferencia no es conmutativa: \( A \setminus B \ne B \setminus A \).
Ejemplo 2: Diferencia simétrica
Con los conjuntos anteriores:
\[ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2\} \cup \{5, 6\} = \{1, 2, 5, 6\} \]
Ejemplo 3: Relación con la intersección
Comprobar \( A \cap \bar{B} = A \setminus B \) con \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( A = \{2, 4, 6\} \), \( B = \{4, 5, 6\} \).
\( \bar{B} = \{1, 2, 3\} \implies A \cap \bar{B} = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3\} = \{2\} \).
\( A \setminus B = \{2, 4, 6\} \setminus \{4, 5, 6\} = \{2\} \). Coinciden.